Lời giải

Xét tam thức f(x) = x2 + (m + 1)x + 2m + 3.

Ta có: ∆ = (m + 1)2 – 4 . 1 . (2m + 3) = m2 + 2m + 1 – 8m – 12 = m2 – 6m – 11.

Mặt khác, hệ số a = 1 > 0.

Do đó, để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ m2 – 6m – 11 < 0.

Xét tam thức g(m) = m2 – 6m – 11 có ∆'g = (– 3)2 – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên g(m) có hai nghiệm m1 = $3-2\sqrt{5}$ và m2 = $3+2\sqrt{5}$.

Vì hệ số ag = 1 > 0 nên ta có bảng xét dấu g(m):

Khi đó g(m) < 0 với mọi m $\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$.

Hay ∆ < 0 với mọi m $\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$.

Vậy m $\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi x ∈ ℝ.