Lời giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) (P) đi qua điểm A(1; 1) nên thay tọa độ điểm A vào hàm số y = ax2 + bx + 3 ta được:

1 = a . 12 + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 2 ⇔  a = – 2 – b (1).

(P) đi qua điểm B(– 1; 0) nên thay tọa độ điểm B vào hàm số y = ax2 + bx + 3 ta được:

0 = a . (– 1)2 + b . (– 1) + 3 ⇔ a – b = – 3 ⇔  a = – 3 + b (2).

Từ (1) và (2) suy ra: – 2 – b = – 3 + b ⇔ 2b = 1 ⇔ b = $\frac{1}{2}$.

Do đó, a = – 2 – $\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình parabol (P): $y=-\frac{5}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3$.

b) (P) đi qua điểm M(1; 2) nên thay tọa độ điểm M vào hàm số y = ax2 + bx + 3 ta được:

2 = a . 12 + b . 1 + 3 ⇔ a + b = – 1 ⇔  a = – 1 – b (3).

(P) nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$  (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $-1-b=-\frac{1}{2}b\iff \frac{1}{2}b=-1\iff b=-2$.  

Do đó, a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = x2 – 2x + 3.

c) (P) có đỉnh là I(1; 4) hay (P) đi qua điểm I(1; 4) nên thay tọa độ điểm I vào hàm số y = ax2 + bx + 3 ta được:

4 = a . 12 + b . 1 + 3 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b    (5).

Vì I là đỉnh của (P) nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b\iff a=-\frac{1}{2}b$   (6).

Từ (5) và (6) suy ra: 1 – b = $-\frac{1}{2}b$$\iff \frac{1}{2}b=1\iff b=2$.

Do đó, a = 1 – b = 1 – 2 = – 1.

Vậy phương trình parabol (P): y = – x2 + 2x + 3.