Lời giải

Điều kiện: a ≠ 0.

a) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên thay x = 1, y = 0 vào hàm số y = ax2 + bx + 1 ta có 0 = a . 12 + b . 1 + 1 ⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (1).

 Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm B(2; 4) nên thay x = 2, y = 4 vào hàm số y = ax2 + bx + 1 ta có 4 = a . 22 + b . 2 + 1 ⇔ 4a + 2b = 3 (2).

Thay (1) vào (2) được: 4 . (– 1 – b) + 2b = 3 ⇔ – 2b = 7 ⇔ b = $-\frac{7}{2}$.

Do đó, a = – 1 $-\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{5}{2}$.

Vậy $y=\frac{5}{2}{x}^2-\frac{7}{2}x+1$.

b) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm A(1; 0) nên thay x = 1, y = 0 vào hàm số y = ax2 + bx + 1 ta có 0 = a . 12 + b . 1 + 1 ⇔ a + b + 1 = 0 ⇔ a = – 1 – b (3).

Parabol y = ax2 + bx + 1 có trục đối xứng x = 1 nên $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b$ (4).

Thay (3) vào (4) được: 2 . (– 1 – b) = – b ⇔ b = – 2.

Do đó, a = – 1 – (– 2) = 1.

Vậy y = x2 – 2x + 1.

c) Parabol y = ax2 + bx + 1 có đỉnh I(1; 2).

Khi đó $\frac{-b}{2a}=1\iff 2a=-b$ (5).

Và 2 = a . 12 + b . 1 + 1 ⇔ a + b = 1 ⇔ a = 1 – b (6).

Thay (6) vào (5) ta được: 2 . (1 – b) = – b ⇔ b = 2.

Khi đó a = 1 – 2 = – 1.

Vậy y = – x2 + 2x + 1.

d) Parabol y = ax2 + bx + 1 đi qua điểm C(– 1; 1) nên thay x = – 1 và y = 1 vào hàm số y = ax2 + bx + 1 ta có 1 = a . (– 1)2 + b . (– 1) + 1 ⇔ a – b = 0 ⇔ a = b.

Ta có: ∆ = b2 – 4ac =  a2 – 4 . a . 1 = a2 – 4a.

Tung độ đỉnh bằng – 0,25 nên  $-\frac{\Delta }{4a}=-\mathrm{0,25}\iff \frac{a^2-4a}{4a}=\mathrm{0,25}$

$\iff \frac{a\left(a-4\right)}{4a}=\frac{1}{4}$$\iff \frac{a-4}{4}=\frac{1}{4}$ (do a ≠ 0)

⇔ a – 4 = 1 ⇔ a = 5.

Vậy a = b = 5.

Vậy y = 5x2 + 5x + 1.