Lời giải

a) Biểu diễn các điểm có tọa độ (0; 0), (2; 32), (4; 48), (5; 50), (6; 48), (8; 32), (10; 0) lên mặt phẳng tọa độ và nối lại được của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x trên khoảng (0; 10).

Quan sát hình ta thấy, dạng của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x giống với dạng của đồ thị hàm số y = – 2x2.

b) Tọa độ điểm cao nhất của đồ thị hàm số y = – 2x2 + 20x là (5; 50).

c) Vì (x – 5)2 ≥ 0 với mọi số thực x

Nên – 2(x – 5)2 ≤ 0 với mọi số thực x

Do đó: – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 0 + 50 = 50 với mọi số thực x.

Vậy y ≤ 50.

Vậy giá trị lớn nhất của y là 50 hay diện tích lớn nhất của mảnh đất được rào chắn là 50 m2.

Từ đó ta có lời giải bài toán mở đầu:

Gọi x (mét, x > 0) là khoảng cách từ điểm cọc P và Q đến bờ tường.

Tấm lưới dài 20 m và được rào chắn như Hình 6.8 nên x + x + PQ = 20.

Suy ra: PQ = 20 – x – x = 20 – 2x (m).

Vì PQ > 0 nên 20 – 2x > 0 ⇔ 2x < 20 ⇔ x < 10.

Vậy ta có điều kiện của x là 0 < x < 10.

Mảnh đất được rào chắn có dạng hình chữ nhật với hai kích thước là x (m) và 20 – 2x (m) với 0 < x < 10.

Diện tích của mảnh đất là S(x) = x . (20 – 2x) = – 2x2 + 20x.

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm giá trị của x để S(x) lớn nhất.

S(x) = – 2(x2 – 10x) = – 2(x2 – 2 . 5 . x + 25) + 50 = – 2(x – 5)2 + 50 ≤ 50 với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện 0 < x < 10).

Do đó giá trị lớn nhất của S(x) là 50 tại x = 5.

Vậy hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường 5 m để mảnh đất được rào chắn của bác Việt có diện tích lớn nhất.