Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 20)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - 4y + 6z - 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là:

Cho a là số thực dương khác 5. Tính $I = {\log _{\frac{a}{5}}}\left( {\frac{{{a^3}}}{{125}}} \right)$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Phương trình ${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49$ có tổng tất cả các nghiệm bằng:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 2n + 5$. Số hạng ${u_4}$ bằng:

Đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A\left( {1;2;0} \right)$, phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với $\left( P \right)$ là:

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Cho tập A có 26 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$, điểm $B\left( {3; - 4;1} \right)$ và điểm $C\left( {2;0; - 1} \right)$. Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

Cho $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3$ và $\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} = - 1$. Giá trị của $\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 5g\left( x \right) + x} \right]dx}$ bằng:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho hai số phức ${z_1} = 2 + 3i,{z_2} = 4 + 5i$. Số phức liên hợp của số phức $w = 2\left( {{z_1} + {z_2}} \right)$ là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}{e^{{x^3} + 1}}$.

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^4} - 5{x^2} + 4$ với trục hoành là:

Kí hiệu ${z_1}$ và ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + z + 1 = 0$. Tính $P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}$.

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_2}\left( {x - 1} \right)} }}$.

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 5$ trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ bằng:

Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m - 1} \right)z + 3{m^2} - 5 = 0$ là phương trình của một mặt cầu?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = 2,AC = 4,SA = \sqrt 5$. Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 5} \right)$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Cho số phức z thỏa mãn $z + 2\overline z = 6 + 2i$. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 1} \right) + {\log _3}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0$ là:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 10 và diện tích xung quanh bằng $60\pi$. Thể tích của khối nón đã cho bằng:

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ như hình vẽ bên. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}$ là:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và đường thẳng $x = 1$ quay quanh trục hoành là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( {0;1;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - 4z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3 + t\\z = 5 - t\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua A song song với d và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ là:

Cho $\int {{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{P}{{x + 1}} + C}$. Giá trị của biểu thức $m + n + p$ bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện: $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}$. Khi đó giá trị $f\left( 1 \right)$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):3x + y - 3 = 0,\left( Q \right):2x + y + z = 0$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, hàm số $y = f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Bất phương trình $f\left( x \right) < 4{e^{x + 1}} + m$ có nghiệm $x \in \left( { - 1;1} \right)$ khi và chỉ khi:

Một lớp có 19 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác tham gia một hoạt động của Đoàn trường. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4).

Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 90 cm, đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là 50 cm và chiều dài là 80 cm. Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là 40 cm. Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là 20 cm theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?

Cho phương trình ${2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0$. Tập các giá trị m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng $\left( {a;b} \right)$. Tổng $\left( {a + 2b} \right)$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat {ABC} = 60^\circ$. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, tính $\sin \varphi$ biết rằng $SB = a$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 2 \right) = - 2;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 1$. Tính tích phân $I = \int\limits_{ - 1}^3 {f'\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t'\\z = 3 + t'\end{array} \right.$. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

Có bao nhiêu cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ${7^{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| - {{\log }_7}5}} = {5^{ - \left( {y + 2} \right)}}$ và $2\left| {y - 2} \right| - \left| y \right| + {y^2} - y \le 7$?

Cho hai số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} + 2 - i} \right| = 2$ và ${z_2} = i{z_1}$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = {z_1} - {z_2}$ trên mặt phẳng tọa độ là đường tròn có tâm:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( 1 \right) = 1$ và $f'\left( x \right) = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}},\forall x > 0$. Khi đó $\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx}$ bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số $g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) + 4{f^2}\left( x \right) + 1$ là:

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi ${V_1}$ là thể tích khối chứa điểm A’ và ${V_2}$ là thể tích khối chứa điểm C’. Khi đó $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi luôn đi qua điểm $A\left( {2;1;9} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến $\left( P \right)$. Giá trị M + m bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ.

Đặt $g\left( x \right) = 2f\left( {x + \frac{m}{2}} \right) - {x^2} - mx + {m^2} - 3$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 15;15} \right]$ để hàm số $y = g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {3;4} \right)$. Số phần tử của tập hợp S là:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${9.6^{f\left( x \right)}} + \left( {4 - {f^2}\left( x \right)} \right){.9^{f\left( x \right)}} \le \left( { - {m^2} + 5m} \right){.4^{f\left( x \right)}}$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$ là:

Cho z và w là các số phức thỏa mãn các điều kiện $z\left( {w + 1} \right) + iw - 1 = 0,\left| {w + 2} \right| = 1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left| {z - 1 - 3i} \right|$ bằng: