Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 28)

Cho a là số thực dương tùy ý và $a \ne 1.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3,{\rm{ }}{u_6} = \frac{3}{{32}}.$ Tìm q.

Điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

Cho $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 5.$ Tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\cos x + f\left( x \right)} \right]dx}$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec a = 2\vec i + \vec k - 3\vec j.$ Tọa độ của vectơ $\vec a$ là

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh bằng 5. Tính thể tích V của khối nón (N).

Cho số phức $z = 1 + 2i.$ Tìm số phức $w = iz + \bar z.$

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\left( {{x^3} - 8} \right)^{ - 2020}}.$

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{4x + 1}}$ là

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $f\left( x \right) - 7 = 0$ có số nghiệm thực là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{3}.$ Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây

Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức $1 + \sqrt 3 i$ và $1 - \sqrt 3 i$ là nghiệm?

Từ các chữ số ${\rm{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}}$ lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau?

Giải phương trình ${2^{{x^2} - 10x + \frac{5}{2}}} = 8\sqrt 2 .$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và có đồ thị (C) như hình vẽ. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox. Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích được xác định theo công thức

Cho tứ diện ABCD có $AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AD$ đôi một vuông góc với nhau và $AB = 2a,{\rm{ }}AC = 3a,{\rm{ }}AD = 4a.$ Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.$ Xét mặt phẳng $\left( P \right):x - 3y + 2mz - 4 = 0,$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1;2; - 3} \right)$ trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^4} - {x^2} + 6$ trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$ bằng

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình vẽ). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng có diện tích là

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m - 1} \right)x$ đạt cực đại tại điểm $x = - 1.$

Tập nghiệm của phương trình $2{\log _4}x - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) = 1$ là

Biết rằng $\int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,$ với $a,{\rm{ }}b \in \mathbb{Z}.$ Tính $S = {a^3} + {b^3}.$

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $60^\circ ,$ cạnh $AB = a.$ Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh $SA = SB = SC = 2a$ và đáy ABC là tam giác đều cạnh $a\sqrt 3 .$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $\left( { - 6;12} \right)$ của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{{mx + 4}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ có đúng ba đường tiệm cận?

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,{\rm{ }}a \ne \sqrt b$ và ${\log _a}b = \sqrt 5 .$ Tính giá trị của biểu thức $P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} .$

Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số $y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}$ có đồ thị như hình vẽ.

Đường thẳng $y = 3$ cắt trục tung, đồ thị hàm số $y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}$ lần lượt tại các điểm $H,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N.$ Biết rằng $HM = 2MN.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh $BB'$, $CC'$. Mặt phẳng $\left( {A'MN} \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, đặt ${V_1}$ là thể tích của phần đa diện chứa điểm B và ${V_2}$ là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$.

Trong không gian, cho hình trụ (T). Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông có diện tích bằng $64c{m^2}.$ Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$ và $f'\left( x \right) \ge x + \frac{1}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f\left( 2 \right)$.

Cho số phức $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = \left| z \right|$ và $\left( {z + 1} \right)\left( {\bar z - i} \right)$ là số thực. Tính $a + b.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh $AB = 2a.$ Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.$ Mặt phẳng $\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0$ chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Tính $a + b + c.$

Cho hàm số $y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^5}}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;{\mkern 1mu} + \infty } \right)$?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f\left( x \right) > \sqrt {{x^2} + {\rm{e}}} + m$ có nghiệm với mọi $x \in \left( { - 3;0} \right)$ khi và chỉ khi

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {6 - {x^2}}$ $\left( { - \sqrt 6 \le x \le \sqrt 6 } \right)$ và trục hoành (phần gạch chéo). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0$ và hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}},{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}.$ Viết phương trình đường thẳng d nằm trên mặt phẳng $\left( P \right),$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}.$

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right)$, $B\left( {0;2;0} \right)$, $C\left( {0;0;3} \right)$. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$ là mặt cầu có bán kính bằng

Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ……, 9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn.

Cho các số thực $a,{\rm{ }}b$ thỏa mãn điều kiện $0 < b < a < 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {\log _a}\frac{{4\left( {3b - 1} \right)}}{9} + 8\log _{\frac{b}{a}}^2a.$

Cho hàm số $y = \frac{5}{6}{x^3} + mx - \frac{2}{3}m$ có đồ thị (C), với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ điểm $A\left( {\frac{2}{3};0} \right)$ kẻ đến (C) được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của $S.$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]$ thỏa mãn $f'\left( x \right).\sin 2x = 1 + 2.f\left( x \right)$ với $\forall x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]$ và $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1.$ Tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( x \right)dx}$ bằng

Cho hai số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| > 0$. Tính ${\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right)^4}$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = {2^{f\left( x \right)}} - {3^{f\left( x \right)}}$.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( {7;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$, $B\left( {1;{\mkern 1mu} 4;{\mkern 1mu} 3} \right)$, $C\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 6} \right)$ và $D\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 3} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ tùy ý thỏa mãn $MA + MB + MC + \sqrt 3 MD$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a + b + c.$

Cho hàm số $f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {12 - x} } \right) = f\left( {{m^2} + 2m + 2} \right)$ có nghiệm?