Đề số 15

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và ${d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y = x + 3$ và parabol $y = 2{x^2} - x - 1$ bằng:

Phương trình ${z^4} = 16$ có bao nhiêu nghiệm phức?

Cho hàm số $y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.$ Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?$

Hàm số $y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}$ có tập xác định là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}$ và mặt phẳng $\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - y + 2z = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {0; - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right),$ song song với đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right).$

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}x \le {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {2x - 1} \right)$ là:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình $\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1$ có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Số nghiệm thực của phương trình ${\log _4}{x^2} = {\log _2}\left( {{x^2} - 2} \right)$ là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y = {x^3} - 12x + 1 - m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

Cho $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a{\mkern 1mu} \sqrt[3]{b}} \right) = 3.$ Tính ${\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b{\mkern 1mu} \sqrt[3]{a}} \right).$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^2} + \frac{{16}}{x}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$ bằng:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt 2 .$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng ${45^0}.$ Gọi E là trung điểm của $BC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DE$ và $SC.$

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình ${4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0$ có nghiệm?

Biết rằng $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c$ là các số hữu tỉ. Tính $2a + 3b - 4c.$

Biết rằng ${\log _2}3 = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _2}5 = b.$ Tính ${\log _{45}}4$ theo $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b.$

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3; - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + y - 2z - 3 = 0.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng:

Một lớp học có 30 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ.

Tính nguyên hàm $\int {{{\tan }^2}2xdx.}$

Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]$ của bất phương trình ${\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y + 2z - 3 = 0.$ Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} + {u_{2020}} = 2,$ ${u_{1001}} + {u_{1221}} = 1.$ Tính ${u_1} + {u_2} + .... + {u_{2021}}.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$ và điểm $A\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0} \right).$ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ bằng:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx$ đồng biến trên $\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Tìm nguyên hàm $\int {\left( {2x - 1} \right)\ln xdx}$.

Cho $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b$ là các số thực dương thỏa mãn ${2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${a^2} + {b^2}$ là:

Cho hàm số $y = m{x^3} + m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1$. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = {x^2} + 8\ln 2x - mx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$?

Cho số phức z thỏa mãn $3z + i\left( {\bar z + 8} \right) = 0$. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( {1;0;2} \right)$, $B\left( { - 1;1;3} \right)$, $C\left( {3;2;0} \right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z+1=0$. Biết rằng điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a + b + c$ bằng:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln \left( {\sqrt x + 1} \right)$.

Tính nguyên hàm $\int {{x^2}{{\left( {2{x^3} - 1} \right)}^2}dx}$.

Phương trình ${2^x} = {3^{{x^2}}}$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt 3$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 2$. Tính góc giữa SC và $\left( {ABCD} \right)$.

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ là:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $xf'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = {e^{ - x}}$ với mọi $x$. Tính $f'\left( 0 \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; - 1; - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y - 3z + 4 = 0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số $y = m{x^9} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^6} + \left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right){x^4} + m$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $2f\left(x\right)+xf\left(\frac{1}{x}\right)=x$ với mọi $x >0$. Tính $\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( x \right)dx}$.

Biết rằng đường thẳng $y = 1 - 2x$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ tại hai điểm phân biệt A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a$, các mặt bên tạo với đáy góc ${60^0}$, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$.

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy là $2a$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$.

Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $3x - 2$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}$ quanh quanh trục $Ox$.

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}$. Tính $\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}$.

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {\bar z + 1 - i} \right|$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB = BC = 3a$, góc $\angle SAB = \angle SCB = {90^0}$và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $a\sqrt 6$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.