Đề số 20

Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức ${a^2} - {b^2}.$ 

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),$ biết $AB = AC = a,BC = a\sqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SD = \frac{{3a}}{2},$ hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm của cạnh $AB.$ Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD.$ 

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = {\log _3}x.$ Tìm điều kiện của ${x_0}$ để điểm $M$ nằm phía trên đường thẳng $y = 2.$

Cho hình chóp S.ABCDđáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a,SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $SO = a.$ Khoảng cách giữa $SC$ và $AB$ bằng:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1,$ công bội $q = 2.$ Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

Cho mặt cầu $S\left( {O;r} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ cách tâm $O$ một khoảng bằng $\frac{r}{2}$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo $r$ chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right).$ 

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}$ tại điểm $x = 1$ là $y'\left( 1 \right) = a\ln 2 + b,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right).$ Tính $a - b.$ 

Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58% / tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng?

Thể tích của khối nón có chiều dài đường sinh bằng 3 và bán kính đáy bằng 2 là 

Trên giá sách có 6 quyển sách toán khác nhau, 7 quyển sách văn khác nhau và 8 quyển sách Tiếng anh khác. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 2 quyển thuộc 2 môn khác nhau? 

Cho $x,y$ là hai số thực không âm thỏa mãn $x + y = 1.$ Giá trị lớn nhất của $x,y$ là: 

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5$ trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right].$ 

Một hộp có 8 quả cầu đỏ khác nhau, 9 quả cầu trắng khác nhau, 10 quả cầu đen khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp là?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2} + n + 1$ với $n \in \mathbb{N}*$. Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

Nếu dãy số $\left( {{U_n}} \right)$ là cấp số cộng có công sai $d$ thì ta có công thức là

Giới hạn $\lim (2n^2-1)$ bằng  

Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.$ Số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}$ bằng

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 4}}{{x - m}}$ có tiệm cận đứng 

Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 5x - 1$

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ có tập xác định là R.

Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là: 

Hàm số $y = \frac{{2x - 5}}{{x + 2}}$ đồng biến trên: 

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B;AB = 2a,BC = a,AA' = 2a\sqrt 3 .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right)^{4x}} = {\left( {\frac{{2021}}{{2020}}} \right)^{2x - 6}}$ là 

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Số nghiệm của phương trình ${\log _{2020}}x + {\log _{2021}}x = 0$ là 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc?

Cho bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(x^2-2x+6)\le -2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh bên bằng $2a,$ góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${60^0}.$ Tính thể tích của khối nón có đỉnh là $S$ và đáy là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$ 

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao gấp 2 lần đường kính đáy của hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2 - 3x}}$ bằng 

Có bao nhiêu cách chọn một bạn lớp trưởng và một bạn lớp phó từ một lớp học gồm 35 học sinh, biết rằng em nào cũng có khả năng làm lớp trưởng và lớp phó?

Cho tứ diện đều $ABCD,M$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{6}?$ 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong $\left[ { - 2020;2020} \right]$ để phương trình $\log \left( {mx} \right) = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên $m \in \left[ { - 2021;2021} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x + m} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right).$ Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?

Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích $72{m^3}.$ Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m², thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m², nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m². Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m,$ có đồ thị $\left( C \right)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có hoành độ bằng 1. Tìm $m$ để tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $\left( C \right)$ tại $A$ cắt đường tròn $\left(\gamma \right){(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. 

Gọi $\left( S \right)$ là tập hợp các giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số $y = \left| {3{x^4} - 8{x^3} - 6{x^2} + 24x - m} \right|$ có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của $S.$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x - \frac{5}{3}$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right].$

Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng $1m$ và $1,2m.$ Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thế tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ hình vuông cạnh $a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O.$ Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OI$ sao cho $MO = 2MI.$ Khi đó côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {MC'D'} \right)$ và $\left( {MAB} \right)$ bằng

Cho đa giác lồi ${A_1}{A_2}...{A_{20}}.$ Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ $(B$ nằm giữa $A$ và $C)$ sao cho $AB = 2BC.$ Tính tổng các phần tử thuộc $S.$ 

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC = 4,BC = 2,SA = 4\sqrt 3 ;\angle SAB = \angle SAC = {30^0}.$ Gọi ${G_1},{G_2},{G_3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB$ và $T$ đối xứng $S$ qua mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Thể tích của khối chóp $T.{G_1}{G_2}{G_3}$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $P = 2a - b.$  

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $V.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,A'C'.P$ là điểm trên các cạnh $BB'$ sao cho $PB = 2PB'.$ Thể tích khối tứ diện $CMNP$ bằng: