ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Giới hạn của dãy số

  • 1Làm xong biết đáp án, phương pháp giải chi tiết.
  • 2Học sinh có thể hỏi và trao đổi lại nếu không hiểu.
  • 3Xem lại lý thuyết, lưu bài tập và note lại các chú ý
  • 4Biết điểm yếu và có hướng giải pháp cải thiện

Số câu đúng

0/42

Thời gian làm bài

00:00:00

Số câu đã làm

0

Câu 1:

Dãy số nào sau đây có giới hạn 0?

A.un=n2{u_n} = \frac{n}{2}

B. un=2n{u_n} = \frac{2}{n}

C. un=n{u_n} = n

D. un=n{u_n} = \sqrt n

Câu 2:

Biết lim⁡un=3\lim {u_n} = 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A.lim⁡3un−1un+1=3\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = 3

B. lim⁡3un−1un+1=−1\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = - 1

C. lim⁡3un−1un+1=2\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = 2

D. lim⁡3un−1un+1=1\lim \frac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = 1

Câu 3:

Dãy số nào dưới đây không có giới hạn 0?

A.un=1n{u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}

B. un=1n3{u_n} = \frac{1}{{\sqrt[3]{n}}}

C. un=n32{u_n} = \frac{{\sqrt[3]{n}}}{2}

D. un=0{u_n} = 0

Câu 4:

Cho hai dãy số (un),(vn)\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)thỏa mãn  ∣un∣≤vn\left| {{u_n}} \right| \le {v_n} với mọi n và lim⁡un=0\lim {u_n} = 0 thì:

A.lim⁡un=0\lim {u_n} = 0

B. lim⁡un>lim⁡vn\lim {u_n} >\lim {v_n}

C. lim⁡un<lim⁡vn\lim {u_n} < \lim {v_n}

D. lim⁡un<0\lim {u_n} < 0

Câu 5:

Cho n∈N∗n \in {N^ * } nếu ∣q∣<1  |q| < 1\;thì:

A.lim⁡qn=0\lim {q^n} = 0

B. lim⁡q=0\lim q = 0

C. lim⁡(n.q)=0\lim \left( {n.q} \right) = 0

D. lim⁡nq=0\lim \frac{n}{q} = 0

Câu 6:

Dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu:

A.lim⁡n→+∞(un−L)=0\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0

B. lim⁡n→+∞(un)=0\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0

C. lim⁡n→+∞L=0\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } L = 0

D. lim⁡n→+∞(un+L)=0\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + L} \right) = 0

Câu 7:

Giả sử lim⁡un=L\lim {u_n} = L. Khi đó:

A.lim⁡∣un∣=L\lim \left| {{u_n}} \right| = L

B. lim⁡∣un∣=−L\lim \left| {{u_n}} \right| = - L

C. lim⁡un=∣L∣\lim {u_n} = \left| L \right|

D. lim⁡∣un∣=∣L∣\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|

Câu 8:

Cho lim⁡un=L\lim {u_n} = L. Chọn mệnh đề đúng:

A.lim⁡un3=L\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = L

B. lim⁡un=L\lim \sqrt {{u_n}} = L

C. lim⁡un=L\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L

D. lim⁡un3=L3\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}

Câu 9:

Giả sử lim⁡un=L,lim⁡vn=M\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M. Chọn mệnh đề đúng:

A.lim⁡(un+vn)=L+M\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M

B. lim⁡(un+vn)=L−M\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L - M

C. lim⁡(un−vn)=L+M\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L + M

D. lim⁡(un−vn)=L.M\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L.M

Câu 10:

Giả sử lim⁡un=L,lim⁡vn=M\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M và c là một hằng số. Chọn mệnh đề sai:

A.lim⁡(un−vn)=L−M\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M

B. lim⁡(un+vn)=L+M\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M

C. lim⁡(un.vn)=L.M\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M

D. lim⁡(cun)=cM\lim \left( {c{u_n}} \right) = cM

Câu 11:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un)\left( {{u_n}} \right)công bội q. Đặt S=u1+u2+...+un+...S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... thì:

A.S=u11−qS = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}

B. S=u1q−1S = \frac{{{u_1}}}{{q - 1}}

C. S=1−qunS = \frac{{1 - q}}{{{u_n}}}

D. S=u11−qnS = \frac{{{u_1}}}{{1 - {q^n}}}

Câu 12:

Chọn mệnh đề sai:

A.lim⁡n=+∞\lim n = + \infty

B. lim⁡n=+∞\lim \sqrt n = + \infty

C. lim⁡n3=+∞\lim \sqrt[3]{n} = + \infty

D. lim⁡1n=+∞\lim \frac{1}{n} = + \infty

Câu 13:

Cho các dãy số un=1n,n≥1{u_n} = \frac{1}{n},n \ge 1và vn=n2,n≥1{v_n} = {n^2},n \ge 1. Khi đó:

A.lim⁡(un.vn)=0\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 0

B. lim⁡(un.vn)=+∞\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty

C. lim⁡(un.vn)=−∞\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = - \infty

D. lim⁡(un.vn)=1\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 1

Câu 14:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai:

A.lim⁡(2)n=0\lim {(\sqrt 2 )^n} = 0

B. lim⁡(13)n=0\lim {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 0

C. lim⁡(12)n=0\lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0

D. lim⁡(13)n=0\lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^n} = 0

Câu 15:

Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un)  \left( {{u_n}} \right)\;có công bội q(∣q∣<1)q\left( {\left| q \right| < 1} \right). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.S=u11−qS = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}

B. S=u11+qS = \frac{{{u_1}}}{{1 + q}}

C. S=1u1−qS = \frac{1}{{{u_1} - q}}

D. S=u1q−1S = \frac{{{u_1}}}{{q - 1}}

Câu 16:

Cho un=1−4n5n{u_n} = \frac{{1 - 4n}}{{5n}}. Khi đó lim unlim\,{u_n}bằng?

A.15.\frac{1}{5}.

B. −45. - \frac{4}{5}.

C. 45.\frac{4}{5}.

D. −15. - \frac{1}{5}.

Câu 17:

Cho un=n2−3n1−4n3{u_n} = \frac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}.  Khi đó lim unlim\,{u_n}bằng?

A.00

B. −14. - \frac{1}{4}.

C. 34.\frac{3}{4}.

D. −34. - \frac{3}{4}.

Câu 18:

Cho un=n2−3n1−4n3{u_n} = \frac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}.  Khi đó lim unlim\,{u_n}bằng?

A..0.    

B.−14. - \frac{1}{4}.

C. 34.\frac{3}{4}.

D. −34. - \frac{3}{4}.

Câu 19:

Cho un=3n+5n5n{u_n} = \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}}. Khi đó lim unlim\,{u_n}bằng?

A.0.     

B.1.    

C.35.\frac{3}{5}.

D. +∞. + \infty .

Câu 20:

Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng −1?

A.lim⁡2n2−3−2n3−4.\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}.

B. lim⁡2n2−3−2n2−1.\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}}.

C. lim⁡2n2−32n2+1.\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{2{n^2} + 1}}.

D. lim⁡2n3−32n2−1.\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{2{n^2} - 1}}.

Câu 21:

Giá trị lim⁡(n3−2n+1)\lim \left( {{n^3} - 2n + 1} \right) bằng

A.0

B.1

C.−∞ - \infty

D. +∞ + \infty

Câu 22:

Giới hạn lim⁡2n+1−3.5n+53.2n+9.5n\lim \frac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} bằng?

A.1.    

B.23.\frac{2}{3}.

C. -1

D. −13. - \frac{1}{3}.

Câu 23:

Giới hạn lim⁡(2−5n)3(n+1)22−25n5\lim \frac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}} bằng?

A.−4.

B.−1.

C.5.    

D.−32. - \frac{3}{2}.

Câu 24:

Giới hạn lim⁡n2−3n−5−9n2+32n−1\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} bằng?

A.52.\frac{5}{2}.

B. −52.\frac{{ - 5}}{2}.

C. 1

D. -1

Câu 25:

Giới hạn lim⁡2n2−n+42n4−n2+1\lim \frac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }} bằng?

A.1.

B.2\sqrt 2

C. 2

D. 12.\frac{1}{{\sqrt 2 }}.

Câu 26:

Giới hạn lim⁡(n2−n−n)\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right) bằng?

A.−∞. - \infty .

B. −12 - \frac{1}{2}

C. 0

D. +∞. + \infty .

Câu 27:

Giới hạn lim⁡(n2−n+1−n2+1)\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - \sqrt {{n^2} + 1} } \right) bằng?

A..0.

B.−12 - \frac{1}{2}

C. −12. - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.

D. 12.\frac{1}{{\sqrt 2 }}.

Câu 28:

Cho dãy số (un)\left( {{u_n}} \right)với un=1−12+12−13+....+1n−1n+1{u_n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}. Khi đó lim unlim\,{u_n} bằng?

A.0.    

B.12\frac{1}{2}

C. 1

D. 2

Câu 29:

Cho dãy số (un)({u_n})với un=11.3+13.5+...+1(2n−1).(2n+1){u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}

Khi đó lim unlim\,{u_n} bằng?

A.12\frac{1}{2}

B. 14.\frac{1}{4}.

C. 1

D. 2

Câu 30:

Giá trị lim⁡sin⁡(n!)n2+1\lim \frac{{\sin \left( {n!} \right)}}{{{n^2} + 1}} bằng

A.0.

B.1.

C.+∞. + \infty .

D. 2

Câu 31:

Cho dãy số (un)({u_n})với un=(2n+1)(1−3n)n3+5n−13{u_n} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}} Khi đó lim unlim\,{u_n} bằng?

A.−∞. - \infty .

B. -1

C. +∞. + \infty .

D. −25.\frac{{ - 2}}{5}.

Câu 32:

Cho dãy số (un)({u_n})xác định bởi  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\left( {n \ge 1} \right)}\end{array}} \right. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Dãy (un)\left( {{u_n}} \right)là dãy giảm tới 1 khi n→+∞n \to + \infty

B.Dãy (un)\left( {{u_n}} \right)là dãy tăng tới 1 khi n→+∞n \to + \infty

C.Không tồn tại giới hạn của dãy (un)\left( {{u_n}} \right)

D.Cả 3 đáp án trên đều sai

Câu 33:

Cho các số thực a, b thỏa ∣a∣<1,    ∣b∣<1\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1. Tìm giới hạn I=lim1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bnI = lim\frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}.

A.+∞ + \infty

B. 1−a1−b\frac{{1 - a}}{{1 - b}}

C. 1−b1−a\frac{{1 - b}}{{1 - a}}

D. 1

Câu 34:

Cho dãy số (un)\left( {{u_n}} \right)xác định bởi  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}({u_n} + 1)({u_n} + 2)({u_n} + 3) + 1} }\end{array}} \right.\left( {n \ge 1} \right) Đặt vn=∑i=1n1ui+2{v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{u_i} + 2}}} . Tính lim vnlim\,{v_n}bằng?

A.+∞. + \infty .

B. 0

C. 12\frac{1}{2}

D. 1

Câu 35:

Giá trị của B=limn!nn3+2nB = {\rm{lim}}\frac{{\sqrt[{\rm{n}}]{{n!}}}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} }} bằng:

A.+∞ + \infty

B. −∞ - \infty

C. 0

D. 1

Câu 36:

lim⁡(2n+3n2)\lim \left( {\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)bằng

A.1

B.0

C.+∞ + \infty

D. 12\frac{1}{2}

Câu 37:

Tính giới hạn lim⁡n2−3n32n3+5n−2\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}.

A.15\frac{1}{5}

B. 12\frac{1}{2}

C. 0

D. −32\frac{{ - 3}}{2}

Câu 38:

lim⁡n+12n−3\lim \frac{{n + 1}}{{2n - 3}}bằng

A.0

B.−∞ - \infty

C. 12\frac{1}{2}

D. −13 - \frac{1}{3}

Câu 39:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1{A_1}{B_1}{C_1} có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2{A_2}{B_2}{C_2} có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1{A_1}{B_1}{C_1},…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An−1Bn−1Cn−1….Goi  P,P1,P2,...,Pn,...{A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}} \ldots .{\rm{ }}Goi\;P,{P_1},{P_2},...,{P_n},... là chu vi của các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2,...,AnBnCn,...ABC,{A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},...,{A_n}{B_n}{C_n},... Tìm tổng P,P1,P2,...,Pn,...P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác  (ảnh 1)

A.9a

B.6a

C.+∞ + \infty

D.3a

Câu 40:

Dãy (un)\left( {{u_n}} \right)có giới hạn −∞ - \infty  ta viết là:

A.lim⁡n→−∞un=−∞\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {u_n} = - \infty

B. lim⁡n→+∞un=−∞\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty

C. lim⁡n→−∞un=+∞\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } {u_n} = + \infty

D. lim⁡n→+∞un=+∞\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty

Câu 41:

Cho cấp số nhân un=12n,∀n≥1{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1. Khi đó:

A.S=1S = 1

B. S=12nS = \frac{1}{{{2^n}}}

C. S=0S = 0

D. S=2S = 2

Câu 42:

 

Cho hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] có cạnh bằng a và có diện tích \[{S_1}\]. Nối bốn trung điểm \[{A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\;\] ta được hình vuông thứ hai có diện tích \[{S_2}\]. Tiếp tục (ảnh 1)

Cho hình vuông A1B1C1D1{A_1}{B_1}{C_1}{D_1} có cạnh bằng a và có diện tích S1{S_1}. Nối bốn trung điểm A2,B2,C2,D2  {A_2},{B_2},{C_2},{D_2}\; ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2{S_2}. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông A3B3C3D3{A_3}{B_3}{C_3}{D_3} có diện tích S3,…  {S_3}, \ldots \; Tính tổng S1+S2+…  {S_1} + {S_2} + \ldots \; bằng

A.a2(2100−1)2100\frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}

B. 2a22{a^2}

C. a22100\frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}

D. a2(299−1)298\frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}