Giải Toán 12 (Cánh Diều) Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập $K\subset \mathbb{R}$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$ có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$.

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^2$ và dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=2x$ trên mỗi khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right),\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Xét dấu $y^{\prime }$ rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số$y=\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+x-1$.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^4+2x^2-3$.

a) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left(x\right)=x^3$.

b) Xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

c) Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm ?

Chứng minh rằng hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ nghịch biến trên nửa khoảng $(-\mathrm{\infty };0]$ và đồng biến trên nửa khoảng $[0;+\mathrm{\infty })$.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau $y=\frac{2x-1}{x+2}$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3-3x^2+3$ ở Hình 3, hãy so sánh:

a) $f\left(-2\right)$ với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-3;-1\right)$ và $x\ne -2$.

b) $f\left(0\right)$với mỗi giá trị $f\left(x\right)$, ở đó $x\in \left(-1;1\right)$ và $x\ne 0$.

Quan sát bảng biến thiên dưới đây và cho biết:

a) $x_o$ có là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$ hay không.

b) $x_1$ có là điểm cực tiểu của hàm số $h\left(x\right)$ hay không.

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=x^4-6x^2+8x+1$.

b) $y=\frac{3x+5}{x-1}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

B. $\left(-1;0\right)$.

C. $\left(-1;1\right)$.

D. $\left(0;1\right)$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

a) $2$.

b) $3$.

c) $-4$.

d) $0$.

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:

a) $y=-x^3+2x^2-3$ b) $y=x^4-2x^2+5$

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$ d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$

b) $y=x^4+2x^2-3$

c) $y=x-\frac{1}{x}$

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị hàm số lần lượt ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Thể tích V (đơn vị: centimet khối) của 1kg nước tại nhiệt độ T được tính bởi công thức sau:

Hỏi thể tích , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0\left(s\right)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126\left(s\right)$, cho bởi hàm số sau:

$v\left(t\right)=0,001320t^3-0,09029t^2+23$.

(v được tính bằng ft/s, 1 feet = 0,3048 m)

Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?