Giải Toán 12 (Cánh Diều) Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức

Q(t) = $-\frac{1}{5}{t}^3 + 5t^2+ 100$,

trong đó Q được tính theo m3/phút, t tính theo phút, 0 ≤ t ≤ 20 (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 m3/phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.

Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 – 2x – 3.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = – x3 + 3x – 2;

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 1.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 6}{-x + 2}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{-x + 2}$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{-x^2}{x + 1}$.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+ x - 3}{x + 1}$.

Trong Ví dụ 9, góc dốc của con đường trên đoạn [– 1 000; 1 000] lớn nhất tại điểm nào?

Đồ thị hàm số y = x3 – 3x – 1 là đường cong nào trong các đường cong sau?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đường cong ở Hình 29 là đồ thị của hàm số:

A. y = x3 + x2 + 2x + 2.

B. y = – x3 – 4x2 – x + 2.

C. y = x3 + 3x2 – 4x + 2.

D. y = x3 + 3x2 + 4x + 2.

Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$?

A. 

B. 

C. 

D. 

Đường cong ở Hình 30 là đồ thị của hàm số:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 – 3x2 + 1;

b) y = – x3 + 3x2 – 1;

c) y = (x – 2)3 + 4;

d) y = – x3 + 3x2 – 3x + 2;

e) $y = \frac{1}{3}{x}^3 + x^2 + 2x + 1;$

g) y = – x3 – 3x.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm

h(t) = – 0,01t3 + 1,1t2 – 30t + 250,

trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Tìm thời điểm t (0 ≤ t ≤ 50) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = h(t) với 0 ≤ t ≤ 70 (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 50 km).

c) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với 0 ≤ t ≤ 50. Xác định hàm số v(t).

d) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là bao nhiêu?

e) Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?

Xét phản ứng hóa học tạo ra chất C từ hai chất A và B:

A + B → C.

Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: [C] = $\frac{a^{2}Kt}{aKt + 1}$ (mol/l), trong đó K là hằng số dương (Nguồn: Đỗ Đức Thái (Chủ biên) và các đồng tác giả, Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến, NXB Đại học Sư phạm, 2023).

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.

b) Chứng minh nếu x = [C] thì x'(t) = K(a – x)2.

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi t → + ∞.

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi t → + ∞.