Giải Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.

Cho hàm số y = f(x) = $x^2$

a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các

khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,

nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) $f(x)=x^3-6x^2+9x$

b) $g(x)=\frac{1}{x}$

Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=3x-sinx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$ với $0\le t\le 8$

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức $h\left(t\right)=6t^3-81t^2+324t$. Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Quan sát đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=x^3--3x^2+1$ trong Hình 5.

a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi $x\ne 0$.

b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi $x\ne 2$.

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi $x\ne 1$ hoặc f(x) < f(1) với mọi $x\ne 1$?

Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8

Đồ thị của hàm số $y=\{\begin{array}{l}{x}^{2}khix\le 1\\ 2-xkhix>1\end{array}$ được cho ở Hình 9.

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?

c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, –) thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Tìm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=h\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000$

Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000]

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=4x^3+3x^2--36x+6$
b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=2x^3+3x^2--36x+1$
b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$
c) $y=\sqrt{-x^2+4}$

Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức $f\left(x\right)=0,01x^3--0,04x^2+0,25x+0,44$ (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 ($0\le x\le 7$).
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6t^2+9t$ với $t\ge 0$. Khi đó $x^{\prime }(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t)$; $v^{\prime }(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $a(t)$.
a) Tìm các hàm $v(t)$và $a(t)$
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Đạo hàm f '(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).