Giải Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, trong đó m0 là khối lượng nghỉ của hạt c = 300 000 km/s là tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi như thế nào? Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số m = m(v) ở hình bên như thế nào?

Cho hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 1.

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1};\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-1}.$

b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → 1+; x → 1−.

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{2x+3}{-x+5}$;                                   b) $y=g\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-1}$.

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x}$

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x-1}{4x+1}$;                                    b) $y=g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Cho đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x}{x+5}$.

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C\left(x\right)=\frac{50x+2000}{x}$. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{4x-5}{2x-3};$                        b) $y=\frac{-2x+7}{4x-3}$;               c) $y=\frac{5x}{3x-7}$.

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$;                          b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$;                  c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$.

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức $y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$, với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn.

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ trong hoạt động khởi động (trang 19).