Giải Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài 6: Vectơ trong không gian

  • 1Làm xong biết đáp án, phương pháp giải chi tiết.
  • 2Học sinh có thể hỏi và trao đổi lại nếu không hiểu.
  • 3Xem lại lý thuyết, lưu bài tập và note lại các chú ý
  • 4Biết điểm yếu và có hướng giải pháp cải thiện

Câu 1:
Tự luận

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

 Tài liệu VietJack

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Câu 2:
Tự luận

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Tài liệu VietJack

Câu 3:
Tự luận

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ AC,AD,AD:

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Tài liệu VietJack

Câu 4:
Tự luận

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

Tài liệu VietJack

a) So sánh độ dài hai vectơ AB và DC.

b) Nhận xét về giá của hai vectơ AB và DC.

c) Hai vectơ AB và DC có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Câu 5:
Tự luận

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Câu 6:
Tự luận

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ SC,AD và DC, vectơ nào bằng vectơ AB.

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho MN=AB.

Câu 8:
Tự luận

Trong không gian, cho hai vectơ a và b không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ AB=a,BC=b. Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ AB=a,BC=b (H.2.10).

Tài liệu VietJack

a) Giải thích vì sao AA=BB và BB=CC.

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra AC=AC.

Câu 9:
Tự luận

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ AC+CD.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Tài liệu VietJack

Câu 10:
Tự luận

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng AB+CD=AD+CB.

Tài liệu VietJack

Câu 11:
Tự luận

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

Tài liệu VietJack

a) Hai vectơ AB+AD và AC có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ AB+AD+AA và AC có bằng nhau hay không?

Câu 13:
Tự luận

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng BB+CD+AD=BD

Câu 14:
Tự luận

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Tài liệu VietJack

Câu 15:
Tự luận

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) BN và DM là hai vectơ đối nhau;

b) SDBNCM=SC

Câu 16:
Tự luận

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.

Tài liệu VietJack

Câu 17:
Tự luận

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)

Tài liệu VietJack

a) Hai vectơ MN và BC có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao |MN|=12|BC|.

Câu 18:
Tự luận

Hai vectơ 1a và a có bằng nhau không? Hai vectơ (1)a và a có bằng nhau không?

Câu 19:
Tự luận

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho SE=13SA,SF=13SB. Chứng minh rằng EF=13DC.

Câu 20:
Tự luận

Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho AI=3IG (H.2.19). Chứng minh rằng IA+IB+IC+ID=0.

Câu 21:
Tự luận

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ F1 và F2. Hãy giải thích vì sao F1=kF2 với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Tài liệu VietJack

Câu 22:
Tự luận

Trong không gian, cho hai vectơ a và b khác 0. Lấy điểm O và vẽ các vectơOA=a,OB=b. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ OA=a,OB=b (H.2.21).

Tài liệu VietJack

a) Hãy giải thích vì sao AB=AB.

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao AOB^=AOB^

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì AB+BC=AC

b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, cosA^=AB2+AC2BC22.AB.AC

Câu 23:
Tự luận

Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác 0), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian

Câu 24:
Tự luận

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc (AA,BC) và (AB,AC).

Tài liệu VietJack

Câu 25:
Tự luận

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Câu 26:
Tự luận

Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng AS.BD và AS.CD

Câu 27:
Tự luận

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng AC.BD=0.

Câu 28:
Tự luận

Như đã biết, nếu có một lực F tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức A=F.MN, trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực F có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Tài liệu VietJack

Câu 29:
Tự luận

Trong không gian, cho ba vectơ a,b,c phân biệt và đều khác 0. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a và b đều cùng hướng với c thì a và b cùng hướng.

b) Nếu a và b đều ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.

c) Nếu a và b đều cùng hướng với c thì a và b ngược hướng.

d) Nếu a và b đều ngược hướng với c thì a và b ngược hướng.

Câu 30:
Tự luận

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2,AD=3 và AA=4. Tính độ dài của các vectơ BB,BD và BD.

Câu 31:
Tự luận

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ a) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ b,c,d,e).

Tài liệu VietJack

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ a,b,c,d và e.

b) Giải thích vì sao các vectơ b,c,d,e đôi một bằng nhau.

Câu 32:
Tự luận

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) AB+DD+CD=CC;
b) AB+CDCC=0;
c) BCCC+DC=AC

Câu 33:
Tự luận

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA=a,AB=b và AC=c. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ a,b,c:
a) AB;
b) BC;
c) BC.

Câu 34:
Tự luận

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA+SC=SB+SD

Câu 35:
Tự luận

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho SM=2AM. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho CN=2BN. Chứng minh rằng MN=13(SA+BC)+AB.

Câu 36:
Tự luận

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn AI=3IG, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8cm (H.2.30).

Tài liệu VietJack

Câu 37:
Tự luận

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Tài liệu VietJack

Câu 38:
Tự luận

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) AA và CC;
b) AA và BC;
c) AC và BA.

Câu 39:
Tự luận

Trong không gian, cho hai vectơ a và b có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 450, hãy tính:
a) a.b;
b) (a+3b).(a2b)
c) (a+b)2.

Câu 40:
Tự luận

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) AB.CD=AC.CD+BC.DC;
b) AB.CD+AC.DB+AD.BC=0.