Giải Toán 9 (Cánh diều) Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn $\widehat{xBy}=\alpha .$ Xét tam giác ABC vuông tại A, tam giác A’BC’ vuông tại A’ với A, A’ thuộc tia Bx và C, C’ thuộc tia By (Hình 1). Do ∆ABC ᔕ ∆A’BC’ nên $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B{C}^{\text{'}}}.$

Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối AC của góc nhọn α và cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông đó.

Tỉ số $\frac{AC}{BC}$ có mối liên hệ như thế nào với độ lớn góc α?

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=\alpha$ (Hình 2).

a) Cạnh góc vuông nào là cạnh đối của góc B?

b) Cạnh góc vuông nào là cạnh kề của góc B?

c) Cạnh nào là cạnh huyền?

Cho tam giác MNP vuông tại M, MN = 3 cm, MP = 4 cm. Tính độ dài cạnh NP và các tỉ số lựợng giác của góc P.

Cho tam giác ABC vuông tại A (Hình 7).

a) Tổng số đo của góc B và góc C bằng bao nhiêu?

b) Viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

c) Mỗi tỉ số lượng giác của góc B bằng tỉ số lượng giác nào góc C?

Tính:

a) sin61° – cos29°;

b) cos15° – sin75°;

c) tan28° – cot62°;

d) cot47° – tan43°.

Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt, tính giá trị của biểu thức:

sin60° – cos60°.tan60°.

Cùng với đơn vị đo góc là độ (kí hiệu: °), người ta còn sừ dụng những đơn vị đo góc khác là: phút (kí hiệu: ’), giây (kí hiệu: ”), với quy ước: 1° = 60’ ; 1’ = 60’’.

Ta có thể tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc nhọn bằng cách sử dụng các phím:  trên máy tính cầm tay. Trước hết, ta đưa máy tính về chế độ “độ”. Để nhập độ, phút giây, ta sử dụng phím .

Chẳng hạn, để tính sin35° và tan70°25’43’’, ta làm như sau:

Sử dụng tính chất cotα = tan(90° – α), ta có thể tính được côtang của một góc nhọn. Chẳng hạn ta tính cot56° như sau:

Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các giá trị lượng giác sau:

sin71°; cos48°; tan59°; cot23°.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, BC = 6 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc N.

Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63°? Vì sao?

a) sin27°;

b) cos27°;

c) tan27°;

d) cot27°.

Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) 41°;

b) 28°35’;

c) 70°27’46’’.

Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, tính giác trị biểu thức:

A = sin25° + cos25° – sin65° – cos65°.

Cho góc nhọn α. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại A sao cho $\hat{B}=\alpha .$

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn α theo AB, BC, CA.

b) Chứng minh:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1;\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1.$

Từ đó, tính giá trị biểu thức: S = sin235° + cos235°; T = tan61°.cot61°.

Hình 10 mô tả tia nắng mặt trời dọc theo AB tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc $\alpha =\widehat{ABH}.$ Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) biết AH = 2 m, BH = 5 m.