Giải Toán 9 (Cánh diều) Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất $p_1^{}$ và thể tích $V_1^{}$ đến áp suất $p_2^{}$ và thể tích $V_2^{}$ thỏa mãn đẳng thức: $\frac{p_1^{}}{p_2^{}}={\left(\frac{V_1^{}}{V_2^{}}\right)}_{}^2$. Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$ được hay không?

Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt{7_{}^2}=?$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=?$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=?$ với a là một số cho trước.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}$ với $x<-3$;

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}$.

So sánh:

a. $\sqrt{16.0,25}$ và $\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$;

b. $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{9x_{}^4}$;

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}$ với $a>0$.

So sánh:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$;

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}_{}^2}}$ với $x>3$;

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}$ với $x>0$.

Xét phép biến đổi: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}_{}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x_{}^2-1}{\sqrt{x-1}}$ với $x>1$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ với $x>1$.

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{{\left(5-x\right)}_{}^2}$ với $x\ge 5$;

b. $\sqrt{{\left(x-3\right)}_{}^4}$;

c. $\sqrt{{\left(y+1\right)}_{}^6}$ với $y<-1$.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{25{\left(a+1\right)}_{}^2}$ với $a>-1$;

b. $\sqrt{x_{}^2{\left(x-5\right)}_{}^2}$ với $x>5$;

c. $\sqrt{2b}.\sqrt{32b}$ với $b>0$;

d. $\sqrt{3c}.\sqrt{27c_{}^3}$ với $c>0$.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_{}^2}{9}}$ với $a>3$;

b. $\frac{\sqrt{75x_{}^5}}{\sqrt{5x_{}^3}}$ với $x>0$;

c. $\sqrt{\frac{9}{x_{}^2-2x+1}}$ với $x>1$;

d. $\sqrt{\frac{x_{}^2-4x+4}{x_{}^2+6x+9}}$ với $x\ge 2$.

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{2\sqrt{3}}$;

b. $\frac{2}{\sqrt{a}}$ với $a>0$;

c. $\frac{7}{3-\sqrt{2}}$;

d. $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ với $x>0;x\ne 9$;

e. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;

g. $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$ với $x>0,x\ne 3$.

Rút gọn biểu thức: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}$ với $a\ge 0,b\ge 0,a\ne b$.