Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm
- 1Làm xong biết đáp án, phương pháp giải chi tiết.
- 2Học sinh có thể hỏi và trao đổi lại nếu không hiểu.
- 3Xem lại lý thuyết, lưu bài tập và note lại các chú ý
- 4Biết điểm yếu và có hướng giải pháp cải thiện
Nếu \[t = u\left( x \right)\]thì:
A.\[dt = u'\left( x \right)dx\]
B. \[dx = u'\left( t \right)dt\]
C. \[dt = \frac{1}{{u\left( x \right)}}dx\]
D. \[dx = \frac{1}{{u\left( t \right)}}dt\]
Biết \[\smallint f\left( x \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C\] với \[x \in \left( {\frac{1}{9}; + \infty } \right)\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.\[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
B. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.\]
C. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
D. \[\smallint f\left( {3x} \right){\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.\]
Nếu \[t = {x^2}\] thì:
A.\[xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\]
B. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}f\left( t \right)dt\]
C. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\]
D. \[xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\]
Cho \[f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \]. Nếu đặt \[\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\] thì:
A.\[f\left( x \right)dx = - tdt\]
B. \[f\left( x \right)dx = 2tdt\]
C. \[f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt\]
D. \[f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt\]
Tính \[I = \smallint 3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx\]
A.\[I = \frac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
B. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \frac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
C. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
D. \[I = \frac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C\]
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx\] , biết\[F(e) = 3\] , tìm \[F(x) = ?\]
A.\[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
B. \[F\left( x \right) = - \sqrt {1 - \ln x} + \frac{1}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
C. \[F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
D. \[F\left( x \right) = 2\sqrt {1 - \ln x} - \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\]
Tính \[I = \smallint \frac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx\] với \[t = sinx\]. Tính I theo t?
A.\[I = t - \frac{{{t^2}}}{2} + C\]
B. \[I = \frac{{{t^2}}}{2} - t + C\]
C. \[I = \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{{t^2}}}{3} + C\]
D. \[I = - \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^2}}}{3} + C\]
Cho \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\] và \[\smallint f(x)dx = - 2\smallint {({t^2} - m)^2}dt\]với \[t = \sqrt {1 - x} \;\], giá trị của m bằng ?
A.m=2
B.m=−2
C.m=1
D.m=−1
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]và \[F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}\] là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?
A.6
B.4
C.8
D.5
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{6tanx}}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx\] . Giả sử đặt \[u = \sqrt {3tanx + 1} \;\] thì ta được:
A.\[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} + 1} \right)du\]
B. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( { - {u^2} + 1} \right)du\]
C. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {{u^2} - 1} \right)du\]
D. \[I = \frac{4}{3}\smallint \left( {2{u^2} - 1} \right)du\]
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}dx = a\left( {t + \frac{1}{t}} \right) + C\] với \[t = \sqrt {{e^x} + 1} \;\], giá trị a bằng?
A.−2
B.2
C.−1
D.1
Nếu có \[x = cott\;\] thì:
A.\[dx = \tan tdt\]
B. \[dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\]
C. \[dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\]
D. \[dx = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dt\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]. Khi đó, nếu đặt x=tant thì:
A.\[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\]
B. \[f\left( x \right)dx = dt\]
C. \[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dt\]
D. \[f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt\]
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số\[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] thoả mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là
A.\[x = 1 - \sqrt 3 \]
B. \[x = 1\]
C. \[x = - 1\]
D. \[x = 0\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\]
A.\[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
B. \[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = - \frac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
C. \[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{1}{6}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
D. \[\smallint f\left( x \right)d{\rm{x}} = \frac{2}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\]
Cho nguyên hàm \[I = \smallint \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x.\]. Nếu đổi biến số \[x = 1sint\;\] với \[t \in [\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]\] thì
A.\[I = - \,\smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
B. \[I = \smallint {\sin ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
C. \[I = \smallint {\cos ^2}t\,\,{\rm{d}}t.\]
D. \[I = \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1,\] Tính giá trị biểu thức \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right).\]
A.\[\frac{{{\pi ^2}}}{2} + \ln \frac{\pi }{2} + 1\]
B. \[\frac{{{\pi ^2}}}{4} - \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]
C. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]
D. \[\frac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \frac{\pi }{2} + 1.\]Trả lời:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \]. Số giá trị của tham số m để \[F\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{7}{3}\] và \[F\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{14}}{3}\;\] là:
A.3
B.4
C.1
D.2
Nguyên hàm của hàm số \[y = \cot x\] là:
A.\[\ln \left| {\cos x} \right| + C\]
B. \[\ln \left| {\sin x} \right| + C\]
C. \[\sin x + C\]
D. \[\tan x + C\]
Biết \[\smallint f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C\]. Tìm khẳng định đúng
A.\[\smallint f(5x + 2)dx = 5F(x) + 2 + C\]
B. \[\smallint f(5x + 2)dx = F(5x + 2) + C\]
C. \[\smallint f(5x + 2)dx = \frac{1}{5}F(5x + 2) + C\]
D. \[\smallint f(5x + 2)dx = 5F(5x + 2) + C\]