Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

  • 1Làm xong biết đáp án, phương pháp giải chi tiết.
  • 2Học sinh có thể hỏi và trao đổi lại nếu không hiểu.
  • 3Xem lại lý thuyết, lưu bài tập và note lại các chú ý
  • 4Biết điểm yếu và có hướng giải pháp cải thiện

Câu 1:

Hàm số y=f(x) có nguyên hàm trên (a;b)  đồng thời thỏa mãn f(a)=f(b). Lựa chọn phương án đúng:

A.\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 0

B.\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 1

C.\mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = - 1

D. \mathop \smallint \limits_a^b f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx = 2

Câu 2:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R  và \mathop \smallint \limits_{ - 2}^4 f(x)dx = 2 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A.\mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 2

B. \mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( {x + 1} \right)d{\rm{x}} = 2

C. \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( {2x} \right)d{\rm{x}} = 1

D. \mathop \smallint \limits_0^6 \frac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)d{\rm{x}} = 1

Câu 3:

Cho y=f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên [a;a].\left[ { - a;a} \right].Chọn kết luận đúng:

A.\mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0

B. \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 1

C. \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = - 1

D. \mathop \smallint \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = a

Câu 4:

Cho \mathop \smallint \nolimits_0^4 f(x)dx = - 1, tính I = \mathop \smallint \limits_0^1 f(4x)dx:

A.I=12I = \frac{{ - 1}}{2}

B. I=14I = - \frac{1}{4}

C. I=14I = \frac{1}{4}

D. I=2I = - 2

Câu 5:

Tính tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^\pi {\cos ^3}x\sin xdx

Đặt cosx=tsinxdx=dtsinxdx=dt\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt

Đổi cận:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = \pi \Rightarrow t = - 1}\end{array}} \right.

I=11t3dt=11t3dt=t4411=1414=0 \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt = } \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt = \frac{{{t^4}}}{4}} \left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0

A.I=14π4I = - \frac{1}{4}{\pi ^4}

B. I=π4I = - {\pi ^4}

C. I=0I = 0

D. I=14I = - \frac{1}{4}Trả lời:

Câu 6:

Cho tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin x\sqrt {8 + \cos x} dx Đặt u=8+cosxu = 8 + cosx thì kết quả nào sau đây là đúng?

A.I = 2\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du

B. I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du

C. I = \mathop \smallint \limits_9^8 \sqrt u du

D. I = \mathop \smallint \limits_8^9 \sqrt u du

Câu 7:

Tính tích phân I = \mathop \smallint \limits_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx bằng phương pháp đổi biến số u=ex1u = \sqrt {{e^x} - 1} . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.I=(u33+u)12I = \left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.

B. I=43(u3+u)12I = \frac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.

C. I=2(u33+u)12I = 2\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.

D. I=13(u33+u)12I = \frac{1}{3}\left( {\frac{{{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_1^2} \right.

Câu 8:

Biết rằng I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a với aRa \in R. Khi đó giá trị của a bằng:

A.a=2a = 2

B. a=12a = \frac{1}{2}

C. a=2a = \sqrt 2

D. a=4a = 4

Câu 9:

Cho 2\sqrt 3 m - \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4} + 2} \right)}^2}}}dx = 0. Khi đó 144m21  144{m^2} - 1\;bằng:

A.23 - \frac{2}{3}

B. 4314\sqrt 3 - 1

C. 233\frac{{2\sqrt 3 }}{3}

D. Kết quả khác

Câu 10:

Đổi biến u=lnxu = \ln x thì tích phân I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx thành:

A.I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right)du

B. I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du

C. I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du

D. I = \mathop \smallint \limits_1^0 \left( {1 - u} \right){e^{2u}}du

Câu 11:

Cho I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} }}{x}dx và t=1+3lnx  t = \sqrt {1 + 3lnx} \;. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A.I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 tdt

B. I = \frac{2}{3}\mathop \smallint \limits_1^2 {t^2}dt

C. I=(29t3+2)12I = \left( {\frac{2}{9}{t^3} + 2} \right)\left| {_1^2} \right.

D. I=149I = \frac{{14}}{9}

Câu 12:

Kết quả tích phân I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx có dạng I=aln2+b  I = aln2 + b\; với a,bQ  a,b \in Q\;. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.2a+b=12a + b = 1

B. a2+b2=4{a^2} + {b^2} = 4

C. ab=1a - b = 1

D. ab=12ab = \frac{1}{2}

Câu 13:

Cho tích phân I = \mathop \smallint \limits_1^{\sqrt 3 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx. Nếu đổi biến số t=x2+1x  t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\; thì:

A.I = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt

B. I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt

C. I = \mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \frac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt

D. I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{t}{{{t^2} + 1}}dt

Câu 14:

Đổi biến x=4sintx = 4\sin t của tích phân I=0816x2I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} }  ta được:

A.I = - 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos ^2}tdt

B. I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 + \cos 2t} \right)dt

C. I = 16\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin ^2}tdt

D. I = 8\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {1 - \cos 2t} \right)dt

Câu 15:

Cho tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}. Bằng phương pháp đổi biến thích hợp ta đưa được tích phân đã cho về dạng:

A.I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} dt

B. I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} tdt

C. I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \frac{{dt}}{t}

D. I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{3}} dt

Câu 16:

Tìm a biết I=12exdx2+ex=lnae+e3ae+bI = \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}} với a,bb là các số nguyên dương.

A.a=1a = 1

B. a=13a = - \frac{1}{3}

C. a=2a = 2

D. a=2a = --2

Câu 17:

Cho tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx. Nếu đổi biến số t=sin2xt = si{n^2}x thì:

Đặtt=sin2xdt=2sinxcosxdxsinxcosxdx=12dtt = {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \Rightarrow \sin x\cos xdx = \frac{1}{2}dtcos2x=1sin2x=1t{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - t

Đổi cận: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.

Khi đó

I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{\cos ^3}xdx = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{{{\sin }^2}x}}co{s^2}x\sin x\cos xdx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt

A.I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt

B. I = 2\left[ {\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}dt + \mathop \smallint \limits_0^1 t{e^t}dt} \right]

C. I = 2\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - t} \right)dt

D. I = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 {e^t}\left( {1 - {t^2}} \right)dtTrả lời:

Câu 18:

 \mathop \smallint \limits_0^1 \frac{{\pi {x^3} + {2^x} + {\rm{e}}{x^3}{{.2}^x}}}{{\pi + {\rm{e}}{{.2}^x}}}{\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{{\rm{e}}\ln n}}\ln \left( {p + \frac{{\rm{e}}}{{{\rm{e}} + \pi }}} \right) với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S=m+n+pS = m + n + p.

A.S=6S = 6

B. S=5S = 5

C. S=7S = 7

D. S=8S = 8

Câu 19:

Biết \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{3\sin x + \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = - \frac{7}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi \,\,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right).. Tính bc\frac{b}{c}.

A.139π\frac{{13}}{{9\pi }}

B. 149\frac{{14}}{9}

C. 149π\frac{{14}}{{9\pi }}

D. 14π9\frac{{14\pi }}{9}

Câu 20:

Cho \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 1.Tính I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right)f\left( {\sin 2x} \right)dx

A.12\frac{1}{2}

B. 12 - \frac{1}{2}

C. 2

D. -2

Câu 21:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;2]\left[ { - 1;2} \right]và thỏa mãn điều kiện f(x)=x+2+xf(3x2)f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right) Tính tích phân \mathop \smallint \limits_{ - 1}^2 f\left( x \right)dx

A.I=143I = \frac{{14}}{3}

B. I=283I = \frac{{28}}{3}

C. I=43I = \frac{4}{3}

D. I=2I = 2

Câu 22:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện x.f(x3)+f(x21)=ex2,xRx.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\forall x \in \mathbb{R}. Khi đó giá trị của \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx là:

A.3(1−e)

B.3e  

C.0

D.3(e−1)

Câu 23:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1]  \left[ {0;1} \right]\;và \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = 5 Tính I = \mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( {\sin x} \right)dx

A.I=5I = 5

B. I=52πI = \frac{5}{2}\pi

C. I=5πI = 5\pi

D. I=10πI = 10\pi

Câu 24:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và \mathop \smallint \limits_1^9 \frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4,\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2. Tính tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right){\rm{d}}x

A.I=6.I = 6.

B. I=4.I = 4.

C. I=10.I = 10.

D. I=2.I = 2.

Câu 25:

Với mỗi số k, đặt Ik=kkkx2dx{I_k} = \int\limits_{ - \sqrt k }^{\sqrt k } {\sqrt {k - {x^2}} } dx. Khi đó I1+I2+I3+...+I12  {I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\; bằng:

A.78π78\pi

B. 650π650\pi

C. 325π325\pi

D. 39π39\pi

Câu 26:

Biết hàm số y=f(x)y = f\left( x \right) liên tục và có đạo hàm trên [0;2],f(0)=5,f(2)=11.\left[ {0;2} \right],f\left( 0 \right) = \sqrt 5 ,f\left( 2 \right) = \sqrt {11} . Tích phân I = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right).f'\left( x \right)dx bằng:

A.115\sqrt {11} - \sqrt 5

B. 6

C. 511\sqrt 5 - \sqrt {11}

D. 3

Câu 27:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R\mathbb{R} và có I = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dt = 6. Giá trị của \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx bằng:

A.23.\frac{2}{3}.

B. 4

C. 32.\frac{3}{2}.

D. 6

Câu 28:

Cho f(x) liên tục trên R\mathbb{R} thỏa mãn f(x)=f(2020x)  f(x) = f(2020 - x)\; và 32017f(x)dx=4\int\limits_3^{2017} {f(x)dx = 4} . Khi đó 32017xf(x)dx\int\limits_3^{2017} {xf(x)dx} bằng:

A.16160

B.4040

C.2020

D.8080