Lời giải

+) Theo định lí cosin, ta có:

$\text{cos}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(3\sqrt{5}\right)}^2+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2-6^2}{2.3\sqrt{5}.3\sqrt{5}}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 53°8\text{'}$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}\approx \frac{180°-53°8\text{'}}{2}=63°26\text{'}$.

Vậy: $AB=AC=3\sqrt{5},BC=6,\widehat{A}\approx 53°8\text{'},\widehat{B}=\widehat{C}\approx 63°26\text{'}.$

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $AH\perp BC;BH\perp AC$$\iff \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

$\overrightarrow{AH}=\left(x+4;y-1\right);\overrightarrow{BC}=\left(0;-6\right);\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y-4\right);\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$

Vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$$\iff$ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0$\iff$‒6.(y – 1) = 0$\iff$y = 1.

Vì $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.

Mà y = 1 $\Rightarrow 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}.$

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là $H\left(\frac{1}{2};1\right)$.