Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vecto

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1

HĐ 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Xét tam giác BCD có $\widehat{BCA}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:

$\widehat{BCA}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}\Rightarrow \widehat{CDB}=\widehat{BCA}-\widehat{CBD}=80°-30°=50°$

$\Rightarrow \widehat{ADB}=50°$ 

Suy ra số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc ADB bằng 50°.

Vậy số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ bằng 50°.

Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0°, bằng 180°.

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right).$

​Giải Toán 10 trang 67 Tập 1

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\text{> 0}$

Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0°.

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số âm thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0.$ 

Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc tù hoặc bằng 180°.

Vậy khi $0°\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<90°$ thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương;

Khi $90°<\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\le 180°$ thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số âm.

​Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$

​2. Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ theo a, b, c.

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.c\text{os}\widehat{BAC}$

Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có: $cos\widehat{BAC}=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC.AB}$ 

$\Rightarrow \text{cos}\widehat{\text{BAC}}\text{=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$

​3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right).$ Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0;$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0.

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ $\Rightarrow \left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2} \\ =\sqrt{k^2{x}^2+k^2{y}^2}=\sqrt{k^2\left(x^2+y^2\right)}=\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$

a) Vì vectơ $\overrightarrow{0}$ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ 

Do đó $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(0;0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$

Do đó $k\left(x^2+y^2\right)=k\left(0^2+0^2\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)=0$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0°$

Do đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os}0°=k.\left(x^2+y^2\right).1=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

 $\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180°$

Do đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os18}0°=-k.\left(x^2+y^2\right).\left(-1\right)=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0 thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.

​HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

a) Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ mà $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ nên $\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)$ suy ra A(x; y).

Vì $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ mà $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ nên $\overrightarrow{OB}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$ suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2}$

$\Rightarrow A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2.$

+) Ta có :

$\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)\Rightarrow OA=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow O{A}^2=x^2+y^2.$

+) Ta có: 

$\overrightarrow{OB}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow OB=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}\Rightarrow O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

Vậy $A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2;$ $O{A}^2=x^2+y^2$ và $O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

c) Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=OA.OB.cos\widehat{AOB}$ 

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có: 

​Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right)$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng 120°.

​HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ  $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),$ $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right),$ $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right).$

a) Tính $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

a) Với $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right)$  ta có:

+) $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$$=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1.\left(y_2+y_3\right)=x_1.x_2+x_1.x_3+y_1.y_2+y_1.y_3$.

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$.

b) Theo câu a ta có:

$\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1=x_1.x_2+y_1.y_2.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

​Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0;$

+) $BH\perp CA\Rightarrow \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{CA}\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$.

Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=0$.

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left(x+1;y-2\right);\overrightarrow{BC}=\left(0;9\right)$ và $\overrightarrow{BH}=\left(x-8;y+1\right);\overrightarrow{AC}=\left(9;6\right)$

Suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\left(x+1\right).0+\left(y-2\right).9=9\left(y-2\right).$

Và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=\left(x-8\right).9+\left(y+1\right).6=9x-72+6y+6=9x+6y-66$.

Theo câu a ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

$\iff$ 9(y – 2) = 0 $\iff$ y – 2 = 0 $\iff$ y = 2.

Và  $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$ (do BH ⊥ AC)$\iff$ 9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

$\iff$ 9x – 54 = 0

$\iff$ 9x = 54

$\iff$ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)$  

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 180°-\left(52°8^{\text{'}}+71°{34}^{\text{'}}\right)\approx 56°{18}^{\text{'}}$

Vậy 

$$\begin{gathered} AB=3\sqrt{10},AC=3\sqrt{13},BC=9,\widehat{BAC} \\ \approx 52°8^{\text{'}},\widehat{ABC}\approx 71°{34}^{\text{'}},\widehat{ACB}\approx 56°{18}^{\text{'}}. \end{gathered}$$

​Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1: Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ $\left(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$ 

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$

b) Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và lực $\overrightarrow{F_1}$

a) Một lực $\overrightarrow{F}$ tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời $\overrightarrow{s}.$

+) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là $A_{\overrightarrow{F}}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{s}$

+) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$ là $A_{\overrightarrow{F_1}}=\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{s}$

+) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_2}$ là $A_{\overrightarrow{F_2}}=\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{s}$

Suy ra $A_{\overrightarrow{F_1}}+A_{\overrightarrow{F_2}}=\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{s}+\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{s}=\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right).\overrightarrow{s}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng)

Mà $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ do đó $A_{\overrightarrow{F_1}}+A_{\overrightarrow{F_2}}=\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right).\overrightarrow{s}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{s}=A_{\overrightarrow{F}}$

Vậy $A_{\overrightarrow{F}}=A_{\overrightarrow{F_1}}+A_{\overrightarrow{F_2}}.$

b) +) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là $A_{\overrightarrow{F}}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{s}=F.s.c\text{os}\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{s}\right)$

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên $\overrightarrow{s}$ cùng hướng với $\overrightarrow{F_1}$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{s}\right)=\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}\right)$ 

Do đó $A_{\overrightarrow{F}}=F.s.c\text{os}\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}\right)$

Ta lại có: $F_1=F.c\text{os}\left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}\right)$

$\Rightarrow A_{\overrightarrow{F}}=F_1.s$ (1)

+) Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$ là $A_{\overrightarrow{F_1}}=\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{s}=F_1.s.c\text{os}\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{s}\right)$

Do $\overrightarrow{s}$ cùng hướng với $\overrightarrow{F_1}$ nên $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{s}\right)=0°$

$\Rightarrow A_{\overrightarrow{F_1}}=F_1.s.c{\text{os0}}^0=F_1.s$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $A_{\overrightarrow{F}}=A_{\overrightarrow{F_1}}\left(=F_1.s\right)$.

Vậy $A_{\overrightarrow{F}}=A_{\overrightarrow{F_1}}.$

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}=\left(-3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;6\right);$

b) $\overrightarrow{a}=\left(3;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;4\right);$

c) $\overrightarrow{a}=\left(-\sqrt{2};1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;-\sqrt{2}\right);$

​Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để:

a) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|;$

b) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|;$

a) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$ thì $\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0°$

Suy ra $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ cùng hướng.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.$

b) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$ thì $\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

$\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\iff \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180°$

Suy ra $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.$

​Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ theo t;

b) Tính t để $\widehat{AMB}=90°.$

a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có:

$\overrightarrow{AM}=\left(t-1;-2\right),\overrightarrow{BM}=\left(t+4;-3\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(t-1\right)\left(t+4\right)+\left(-2\right).\left(-3\right) \\ =t^2+3t-4+6=t^2+3t+2. \end{gathered}$$

b) Để $\widehat{AMB}=90°$ thì $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

$\iff t^2+3t+2=0\iff \left(t+1\right)\left(t+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=-2\end{array}\right.$

Vậy với $t\in \left\{-1;-2\right\}$ thì $\widehat{AMB}=90°.$

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

+) Theo định lí cosin, ta có:

$\text{cos}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{\left(3\sqrt{5}\right)}^2+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2-6^2}{2.3\sqrt{5}.3\sqrt{5}}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 53°8\text{'}$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}\approx \frac{180°-53°8\text{'}}{2}=63°26\text{'}$.

Vậy: $AB=AC=3\sqrt{5},BC=6,\widehat{A}\approx 53°8\text{'},\widehat{B}=\widehat{C}\approx 63°26\text{'}.$

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $AH\perp BC;BH\perp AC$

$\iff \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

$\overrightarrow{AH}=\left(x+4;y-1\right);\overrightarrow{BC}=\left(0;-6\right);\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y-4\right);\overrightarrow{AC}=\left(6;-3\right)$

Vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

$\iff$ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0$\iff$‒6.(y – 1) = 0$\iff$y = 1.

Vì $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.

Mà y = 1 $\Rightarrow 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}.$

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là $H\left(\frac{1}{2};1\right)$.

​Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2.{\overrightarrow{AC}}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}.$

Cách 1:

Cách 2:

​Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,

MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Lời giải:

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$ (Quy tắc ba điểm)

$$\begin{gathered} ={\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2 \\ +2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2 \\ =\left({\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2\right)+\left(2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\right) \\ +{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2 \end{gathered}$$

$=3{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \overrightarrow{MG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{0}=0$

$\Rightarrow M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2.$

$\Rightarrow$MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

​