Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 7

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7

A.  Trắc nghiệm

 Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

 Bài 7.26 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. 2x – y + 1 = 0;

B. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\\ \mathrm{<span\; style="font-size:18px;">y</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\end{array}\right.$;

C. x2 + y2 = 1;

D. y = 2x + 3.

Ta thấy 2x – y + 1 = 0; y = 2x + 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A, D sai.

Ta thấy x2 + y2 = 1 là phương trình đường tròn. Do đó C sai.

Phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\\ \mathrm{<span\; style="font-size:18px;">y</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\end{array}\right.$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B đúng.

Vậy chọn đáp án B.

​Bài 7.27 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. –x – 2y + 3 = 0;

B. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">2</span>}<span\; style="font-size:18px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\\ \mathrm{<span\; style="font-size:18px;">y</span>}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">3</span>}<span\; style="font-size:18px;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">t</span>}\end{array}\right.$;

C. y2 = 2x;

D. $\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">2</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">10</span>}}<span\; style="font-size:18px;">+</span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">y</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">2</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">6</span>}}<span\; style="font-size:18px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:18px;">1</span>}$.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\end{array}\right.$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B sai.

 y2 = 2x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó C sai.

$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$ là phương trình chính tắc của elip. Do đó D sai.

–x – 2y + 3 = 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A đúng.

Vậy chọn đáp án A.

​Bài 7.28 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x2 – y2 = 1;

B. (x – 2)2 – (y – 2)2 = 1;

C. x2 + y2 = 2;

D. y2 = 8x.

 x2 – y2 =  1 có hệ hệ số của y2 là – 1 ≠ 1 nên phương trình x2 – y2 =  1 không là phương trình đường tròn. Do đó A sai.

(x – 2)2 – (y – 2)2 = 1 không thoả mãn dạng của phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2. Do đó B sai.

y2 = 8x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó D sai.

x2 + y2 = 2 là phương trình đường tròn có tâm I(0;0) và R = $\sqrt{2}$. Do đó C đúng.

Vậy chọn đáp án C.

​Bài 7.29 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$;

B. $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$;

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$;

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ có a =  b = 3 không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó A sai

$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ có a = 1; b = $\sqrt{6}$mà a < b không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{6}=1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó B sai

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$là phương trình hypebol. Do đó C sai

$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ là phương trình elip vì a = $\sqrt{2}$; b = 1 nên a > b > 0. Do đó D đúng.

Vậy chọn đáp án D.

​Bài 7.30 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=-1$

B. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$

D. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=-1$

$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó A sai

$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{1}=1$là phương trình elip. Do đó C sai

$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=-1$ không có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó D sai

Đáp án : B. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$

Vì a = 1; b = $\sqrt{6}$⇒ c = $\sqrt{1+6}=\sqrt{7}$

 Ta có : 1 < $\sqrt{7}$ hay a <  c nên theo định nghĩa hypebol ta có: $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{6}=1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Vậy chọn đáp án B.

​Bài 7.31 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. x2 = 4y

B. x2 = -6y

C. y2 = 4x

D. y2 = -4x

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2 = 2px (p > 0).

Ta thấy chỉ có đáp án C có phương trình dạng trên và thỏa mãn p = 2 > 0 ( thoả mãn điều kiện về phương trình chính tắc của parabol).

Vậy đáp án cần chọn là C.

​B. Bài tập

 Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1; −1), B(3; 5); C(−2; 4). Tính diện tích tam giác ABC

Ta có: $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) ⇒ BC = $\sqrt{5^2+1^2}$ = $\sqrt{26}$

Ta lại có $\overrightarrow{CB}$= (5; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC nên vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n}$(−1; 5).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$(−1; 5), có phương trình là:

−1(x – 3) + 5(y − 5) = 0 ⇒ −x + 5y – 22 = 0

d(A; BC) = $\frac{\left|-1+5.(-1)–22\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+5^2}}$= $\frac{14\sqrt{26}}{13}$.

Khi đó diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$. d(A; BC). BC = $\frac{1}{2}$.$\frac{14\sqrt{26}}{13}$.$\sqrt{26}$ =14 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 14 đvdt.

​Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(−1; 0) và B(3; 1)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

a) Phương trình đường tròn tâm A có dạng : (x + 1)2 + y2 = R2 (với R là bán kính của đường tròn tâm A).

Vì đường tròn đi qua điểm B(3; 1) nên (3 + 1)2 + 12 = R2 ⇒ R2 = 17

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + y2 = 17

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$= (4; 1) nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(−1; 4).

Vậy phương trình đường thẳng AB là: −1(x + 1) + 4(y – 0) = 0 hay –x + 4y −1 = 0.

c) Vì đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB nên

R = d(O; AB) = $\frac{\left|-0+4.0-1\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+4^2}}$= $\frac{1}{\sqrt{17}}$

Vậy phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB là:

(x – 0)2 + (y – 0)2 = $\frac{1}{17}$ hay x2 + y2 = $\frac{1}{17}$.

​Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

a) Với phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 hay x2 + y2 – 2.2x – 2.( –3) y + (– 12) = 0.

⇒ a = 2; b = –3; c = –12

Khi đó, tâm I(2; –3) và bán kinh R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{2^2+{(-3)}^2+12}=5$

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C) ta được:

52 + 12 – 4.5 + 6.1 – 12 = 0

⇔ 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0

⇔ 0 = 0 (luôn đúng)

⇒  M(5; 1) ∈ (C).

Ta có: $\overrightarrow{IM}$= (3; 4)

Vì d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M nên IM ⊥ d, do đó đường thẳng d nhận $\overrightarrow{IM}$= (3; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M(5; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$= (3; 4) là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

​Giải Toán 10 trang 59 Tập 2

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2; B1B2

b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).

Chứng minh rằng: b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$ ≤  a2 và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A1A2; B1B2 tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b              

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

⇒ $\overrightarrow{A_1{A}_2}\left(2a;0\right)$ ⇒ A1A2 = $\sqrt{{\left(2a\right)}^2+0^2}$= 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ⇒ y2  = b2 ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B1(0; −b),  B2(0; b).

⇒ $\overrightarrow{B_1{B}_2}\left(0;2b\right)$ ⇒ B1B2 = $\sqrt{0^2+{\left(2b\right)}^2}$= 2b.

Vậy A1(−a; 0),  A2(a; 0), B1(0; −b),  B2(0; b), A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.

b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi x0 = 0)

⇔ $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$ hay $1\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{b^2}$ 

⇒  b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_0^2}{a^2}\le \frac{y_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi y0 = 0)

⇔$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ hay $1\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ ⇒ $x_0^2+y_0^2$ ≤ a2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a2 (đpcm)

Mặt khác ta có: $\overrightarrow{OM}$= (x0; y0) ⟹ OM = $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$

Mà b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a2 ⇒  b ≤ $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ ≤  a hay b ≤ OM ≤ a (đpcm).

​Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình : $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M1M2 nhỏ nhất.

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x2  = a2 ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A1 nhỏ hơn hoành độ A2 nên ta có: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A1(−a; 0),  A2(a; 0).

b) Ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 

⇔ $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}$ 

Mà $\frac{y^2}{b^2}$≥ 0 nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ hay x2 ≥ a2  

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M1(x1;y1),  M2(x2;y2), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x1 ≤ – a và x2 ≥ a.

Ta có

$\overrightarrow{M_1{M}_2}\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$ ⇒ M1M2 = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$;

 A1A2 = $\sqrt{{(a-(-a\left)\right)}^2+{(0-0)}^2}$ = 2a.

Vì x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 – x1 = $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ (1)

Mặt khác ta có: x1 ≤ –a  và x2  ≥  a ⇒ $\left|x_2\right|$  ≥  a và $\left|x_1\right|$ ≥  a

                                                        ⇒ $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ ≥  a + a = 2a  (2)

Từ (1) và (2) ta có: x2 – x1 ≥  2a ⇒ (x2 – x1)2 ≥  (2a)2  

Ta lại có: (y2 – y1)2  ≥ 0

⇒  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2  ≥  (2a)2  + 0 = (2a)2 

⇒ $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ ≥  2a  hay M1M2 ≥ A1A2

Vậy M1M2 nhỏ nhất khi M1M2 = A1A2

Dấu “=” xảy ra khi diểm M1 ≡ A1(-a; 0) và  M2  ≡ A2(a; 0).

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A1A2 nên A1(−0,4 ; 0),  A2(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng : $\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).

Vì điểm M(0,5; 3) thuộc (H) nên $\frac{{\mathrm{0,5}}^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{3^2}{b^2}=1$

⇔$\frac{25}{16}-\frac{3^2}{b^2}=1$

⇔$\frac{3^2}{b^2}=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}$ 

⇒ b2 = 16

Do đó phương trình hypebol của hình trụ đó là: $\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{y^2}{16}=1$

Tại vị trí 5m thì điểm đó cách trục hoành một khoảng bằng 2m nên ta có y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình hypebol ta được:

$\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}-\frac{2^2}{16}=1$

⇔$\frac{x^2}{{\mathrm{0,4}}^2}=\frac{20}{16}$

⇒ x2 = 0,2 ⇒x =$\sqrt{\mathrm{0,2}}$≈±0,45

Vậy độ rộng tại vị trí có độ cao 5m xấp xỉ là: 0,45.2 = 0,9 m.​