Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Sinx.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh so sánh và làm bài tập Toán 10 dễ dàng. Mời các bạn đón xem:

1 188 lượt xem


 

Giải bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Mở đầu

Mở đầu trang 60 Toán 10 Tập 1: Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão (ảnh 1)

Sau bài học này ta có thể trả lời câu hỏi trên như sau:

Gọi M(x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì t giờ trong khoảng thời gian 12 giờ.

Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.

Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão (ảnh 1)

Theo dự báo, tại thời điểm t giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là: AMAB=t12 

Hay AM=t12AB 

Vectơ AM cùng hướng với vectơ AB và AM=t12AB nên AM=t12AB 

Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)

Suy ra AM=x13,8;y108,3,AB=0,3;2

Ta có: AM=t12ABx13,8=t12.0,3y108,3=t12.2x=0,3.t12+13,8y=2.t12+108,3x=t40+13,8y=t6+108,3

Mt40+13,8;t6+108,3

Vậy ở thời điểm t giờ tâm bão là điểm M ở vị trí Mt40+13,8;t6+108,3

​ ​1. Tọa độ của Vecto

Giải Toán 10 trang 60 Tập 1

HĐ 1 trang 60 Toán 10 Tập 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt OA=i (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số 32. Hãy biểu thị mỗi vectơ OM,ON theo vectơ đơn vị i.

Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt vecto OA = vecto i (ảnh 1)

Trên hình vẽ ta thấy:

+) Vectơ OM cùng hướng với vectơ OA và OM = 4 = 4.1 = 4OA

Nên OM=4OA=4i.

+) Vectơ ON ngược hướng với vectơ OA và ON = 32=32.1=32OA

Nên ON=32OA=32i.

Vậy OM=4i và ON=32i.

Giải Toán 10 trang 61 Tập 1

HĐ 2 trang 61 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.33:

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ OM,ON theo các vectơ i,j.

b) Hãy biểu thị vectơ MN theo các vectơ OM,ON từ đó biểu thị vectơ MN theo các vectơ i,j.

Trong Hình 4.33: Hãy biểu thị mỗi vectơ OM,ON theo các vecto i, j (ảnh 1)

Trong Hình 4.33: Hãy biểu thị mỗi vectơ OM,ON theo các vecto i, j (ảnh 1)

Giả sử các điểm A, B, C, D được biểu diễn như hình vẽ trên.

Khi đó OA=3i;OB=5j;OC=2i;OD=52j. 

a) OAMB là hình bình hành suy ra OM=OA+OB (quy tắc hình bình hành)

Do đó OM=3i+5j 

OCND là hình bình hành suy ra ON=OC+OD (quy tắc hình bình hành)

Do đó ON=2i+52j 

b) Ta có: MN=ONOM (quy tắc ba điểm)

MN=2i+52j3i+5j=2i+52j3i5j=2i3i+52j5j=5i52j.

Vậy MN=ONOM=5i52j.

Luyện tập 1 trang 61 Toán 10 Tập 1: Tìm tọa độ của 0.

Ta có: 0=0.i+0.j0=0;0.

Vậy vectơ 0 có toạ độ là (0; 0).

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

HĐ 3 trang 61 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u=2;3,v=4;1,a=8;12.

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ u,v,a theo các vectơ i,j.

b) Tìm tọa độ của các vectơ u+v,4u.

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ u,a.

a) Ta có:

u=2;3u=2i3j;

v=4;1v=4i+j;

a=8;12a=8i12j.

b) Ta có:

u+v=2i3j+4i+j=2i3j+4i+j=6i2ju+v=6;2

4u=42i3j=8i12j4u=8;12.

Vậy toạ độ của vectơ u+v là (6; ‒2) và toạ độ của vectơ 4u là (8; ‒12).

c) Ta có a=8;12 và 4u=8;12.

Suy ra a=4u.

Vậy a=4u.

Giải Toán 10 trang 62 Tập 1

HĐ 4 trang 62 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0).

Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị OP  theo ivà tính độ dài của OP theo x0.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ theo j và tính độ dài của OQ theo y0.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của OM theo x0, y0.

d) Biểu thị OM theo các vectơ i,j.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu (ảnh 1)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0 nên OP = |x0| = x0.

Ta có vectơ OP cùng hướng với vectơ i và OP= OP = x0 nên OP=x0i.

Vậy OP=x0i.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y0 nên OQ = |y0| = y0.

Ta có vectơ OQ cùng hướng với vectơ j và OQ= OQ = y0 nên OQ=y0j.

Vậy OQ=y0j.

c) Xét tam giác OPM vuông tại P, theo định lí Pythagore ta có: OM2 = OPMP2

OM=OP2+MP2=OP2+OQ2=x02+y02.

Do đó OM=OM=x02+y02. 

Vậy OM=x02+y02.

d) Ta có OM=OP+OQ=x0i+y0j.

Vậy OM=x0i+y0j. 

HĐ 5 trang 62 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

a) Tìm tọa độ của các vectơ OM,ON.

b) Biểu thị vectơ MN theo các vectơ OM,ON và tìm tọa độ của MN

c) Tìm độ dài của vectơ MN

a) Ta có M(x; y) nên vectơ OM có toạ độ (x; y).

N(x'; y') nên vectơ ON có toạ độ (x'; y').

b) Ta có: MN=ONOM (quy tắc ba điểm)

Mà tọa độ của vectơ ONOMlà (x' – x; y' – y).

Vậy MN=x'x;y'y.

c) Độ dài của vectơ MN là MN=x'x2+y'y2.

Giải Toán 10 trang 63 Tập 1

Luyện tập 2 trang 63 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.

a) Ta có: A(2; 1) suy ra OA=2;1 

B(3; 3) suy ra OB=3;3 

Hai vectơ OA=2;1,OB=3;3 không cùng phương  (vì 2313).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm O, A, B không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên tứ giác OABM là hình bình hành khi và chỉ khi OA=MB

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3) (ảnh 2)

Ta có: OA=2;1,MB=3x;3y nên

OA=MB2=3x1=3yx=1y=2M1;2.

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Giải Toán 10 trang 64 Tập 1

Vận dụng trang 64 Toán 10 Tập 1: Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo.

Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ (ảnh 1)

Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vectơ AM và AB rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.

Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.

Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ (ảnh 1)

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là: AMAB=912=34 

Hay AM=34AB 

Vectơ AM cùng hướng với vectơ AB và AM=34AB nên AM=34AB 

Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)

Suy ra AM=x13,8;y108,3,AB=0,3;2

Ta có: AM=34AB

x13,8=34.0,3y108,3=34.2x=0,3.34+13,8y=2.34+108,3

x=14,025y=106,8M14,025;106,8

Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).

Bài tập

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1

Bài 4.16 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

a) Ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2) (ảnh 1)

b) Xét tam giác OMN, có: OM=MN=10 suy ra tam giác OMN cân tại M.   (1)

Ta có: 

ON2=252=20;OM2+MN2=102+102=20

ON2=OM2+MN2

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác OMN vuông tại M. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác OMN vuông cân tại M.

Vậy tam giác OMN vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a=3i2j;b=4;1 và các điểm M(‒3;6), N(3;‒3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ MN và 2ab.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP là hình bình hành.

a) Ta có:

Giải Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ  - Kết nối tri thức (ảnh 1)

b) Ta có

+ M(-3; 6)OM=3;6

+) N(3;‒3) ON=3;3

Hai vectơ OM=3;6,ON=3;3 không cùng phương (vì 3363).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm O, M, N không thẳng hàng.

c)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a = 3i - 2j; veco b(4; -1) (ảnh 1)

Các điểm O, M, N không thẳng hàng, tứ giác OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi OM=PN

Ta có: M(‒3;6); N(3;‒3) và P(x; y)

OM=3;6,PN=3x;3y 

Do đó OM=PN

3=3x6=3yx=6y=9P6;9.

Vậy điểm cần tìm là P(6;‒9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

a) Chứng minh rằng ABC là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

a) Ta có: A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

Suy ra: AB=1;1,BC=5;2

Hai vectơ AB=1;1,BC=5;2 không cùng phương (vì 1512).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi M(x1;y1) là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;3) và B(2;4).

Khi đó ta có:

x1=1+22y1=3+42x1=32y1=72M32;72.

Vậy M32;72 là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) Gọi G(x2;y2) là trọng tâm của tam giác ABC với A(1;3), B(2;4) và C(‒3;2).

Khi đó ta có:

x2=1+2+33y2=3+4+23x2=0y2=3G0;3.

Vậy G(0;3) là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD với A(1;3), B(2;4) và D(x,y) thì:

0=1+2+x30=3+4+y3x+3=0y+7=0x=3y=7D3;7

Vậy D(‒3;‒7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Bài 4.19 trang 65 Toán 10 tập 1: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ v=3;4. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu thủy trên mặt phẳng toạ độ sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Tàu khởi hành từ vị trí A chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ v=3;4, sau 1,5 giờ thì tàu thuỷ đến B nên AB=1,5v 

Mà A(1;2); B(x; y) nên AB=x1;y2 

Khi đó: AB=1,5v

x1=1,5.3y2=1,5.4x=1,5.3+1y=1,5.4+2x=5,5y=8B5,5;8

Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí B(5,5; 8).

Bài 4.20 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2) (ảnh 1)

Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, mỗi nước đi gồm tồng cộng 3 ô (tiến 1 ô rồi quẹo trái/ phải 2 ô và ngược lại hoặc tiến 2 ô rồi quẹo trái/ phải 1 ô và ngược lại) nên quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E và O trên bàn cờ như hình dưới đây:

Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2) (ảnh 1)

Tọa độ của các vị trí đó là: O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).

Vậy sau một nước đi, quân mã có thể đến các vị trí O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).

  

1 188 lượt xem