Lời giải

a) Ta có: A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

Suy ra: $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$ không cùng phương (vì $\frac{1}{-5}\ne \frac{1}{-2}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi M(x1;y1) là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;3) và B(2;4).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+2}{2}\\ y_1=\frac{3+4}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ y_1=\frac{7}{2}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right).$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) Gọi G(x2;y2) là trọng tâm của tam giác ABC với A(1;3), B(2;4) và C(‒3;2).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{1+2+\left(-3\right)}{3}\\ y_2=\frac{3+4+2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_2=0\\ y_2=3\end{array}\right.\Rightarrow G\left(0;3\right).$

Vậy G(0;3) là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD với A(1;3), B(2;4) và D(x,y) thì:

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1+2+x}{3}\\ 0=\frac{3+4+y}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+3=0\\ y+7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-7\end{array}\right.\Rightarrow D\left(-3;-7\right)$

Vậy D(‒3;‒7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.