Lời giải 

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

⇒ $\overrightarrow{A_1{A}_2}\left(2a;0\right)$ ⇒ A1A2 = $\sqrt{{\left(2a\right)}^2+0^2}$= 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ⇒ y2  = b2 ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B1(0; −b),  B2(0; b).

⇒ $\overrightarrow{B_1{B}_2}\left(0;2b\right)$ ⇒ B1B2 = $\sqrt{0^2+{\left(2b\right)}^2}$= 2b.

Vậy A1(−a; 0),  A2(a; 0), B1(0; −b),  B2(0; b), A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.

b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi x0 = 0)

⇔ $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$ hay $1\le \frac{x_0^2}{b^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{b^2}$ 

⇒  b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_0^2}{a^2}\le \frac{y_0^2}{b^2}$ (Dấu “=” xảy ra khi y0 = 0)

⇔$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ hay $1\ge \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}$ ⇒ $x_0^2+y_0^2$ ≤ a2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a2 (đpcm)

Mặt khác ta có: $\overrightarrow{OM}$= (x0; y0) ⟹ OM = $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$

Mà b2  ≤ $x_0^2+y_0^2$≤  a2 ⇒  b ≤ $\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ ≤  a hay b ≤ OM ≤ a (đpcm).