Lời giải 

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇒ x2  = a2 ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A1 nhỏ hơn hoành độ A2 nên ta có: A1(−a; 0),  A2(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A1(−a; 0),  A2(a; 0).

b) Ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 

⇔ $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}$ 

Mà $\frac{y^2}{b^2}$≥ 0 nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ hay x2 ≥ a2  

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ - a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M1(x1;y1),  M2(x2;y2), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x1 ≤ – a và x2 ≥ a.

Ta có

$\overrightarrow{M_1{M}_2}\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$ ⇒ M1M2 = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$;

 A1A2 = $\sqrt{{(a-(-a\left)\right)}^2+{(0-0)}^2}$ = 2a.

Vì x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 – x1 = $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ (1)

Mặt khác ta có: x1 ≤ –a  và x2  ≥  a ⇒ $\left|x_2\right|$  ≥  a và $\left|x_1\right|$ ≥  a

                                                        ⇒ $\left|x_2\right|$+$\left|x_1\right|$ ≥  a + a = 2a  (2)

Từ (1) và (2) ta có: x2 – x1 ≥  2a ⇒ (x2 – x1)2 ≥  (2a)2  

Ta lại có: (y2 – y1)2  ≥ 0

⇒  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2  ≥  (2a)2  + 0 = (2a)2 

⇒ $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ ≥  2a  hay M1M2 ≥ A1A2

Vậy M1M2 nhỏ nhất khi M1M2 = A1A2

Dấu “=” xảy ra khi diểm M1 ≡ A1(-a; 0) và  M2  ≡ A2(a; 0).