Ta có: MOO'M' là hình bình hành nên $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\text{'}M\text{'}}$ và $\overrightarrow{OO\text{'}}=\overrightarrow{MM\text{'}}$.

Vì OM = R nên $O\text{'}M\text{'}=\left|\overrightarrow{O\text{'}M\text{'}}\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|=OM=R$, R cố định nên O' luôn cách M' một khoảng không đổi bằng R.

Do O, O' cố định và $\overrightarrow{OO\text{'}}=\overrightarrow{MM\text{'}}$ nên phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$ biến điểm M thành điểm M'. Suy ra nếu M thay đổi trên (O; R) thì M' luôn là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$.

Lại có phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$ biến đường tròn (O; R) thành đường tròn có bán kính là R và có tâm là ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$ hay chính là điểm O'. Điều này có nghĩa là đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$.

Mà O'M' = R không đổi nên M' luôn thuộc đường tròn (O'; R).

Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{OO\text{'}}$​