Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ $\Rightarrow \left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2} \\ =\sqrt{k^2{x}^2+k^2{y}^2}=\sqrt{k^2\left(x^2+y^2\right)}=\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2} \end{gathered}$$

a) Vì vectơ $\overrightarrow{0}$ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ 

Do đó $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(0;0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right.$

Do đó $k\left(x^2+y^2\right)=k\left(0^2+0^2\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)=0$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0°$

Do đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os}0°=k.\left(x^2+y^2\right).1=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

 $\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180°$

Do đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os18}0°=-k.\left(x^2+y^2\right).\left(-1\right)=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0 thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ đúng.