Lời giải

a) Với $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right)$  ta có:

+) $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$$=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1.\left(y_2+y_3\right)=x_1.x_2+x_1.x_3+y_1.y_2+y_1.y_3$.

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$.

b) Theo câu a ta có:

$\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1=x_1.x_2+y_1.y_2.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$