Câu hỏi:
41 lượt xemTrong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P1), (P2) và (P3) giao nhau tại O. Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P1), (P2) và (P3). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P1) và (P2), (P2) và (P3), (P3) và (P1).
a) Chứng minh OA2 = OM2 + ON2 + OP2.
b) Áp dụng ý a để chứng minh OA = căn ((OA1 mũ 2 + OA2 mũ 2+ OA3 mũ 3)/2) .
Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.
Tam giác OMA vuông tại M có: OA2 = OM2 + AM2 (1)
Tam giác ONA vuông tại N có: OA2 = ON2 + AN2 (2)
Tam giác OPA vuông tại P có: OA2 = OP2 + AP2 (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:
3OA2 = (OM2 + ON2 + OP2) + (AM2 + AN2 + AP2)
Ta chứng minh được: AM2 + AN2 + AP2 = 2OA2. (4)
Suy ra: OA2 = OM2 + ON2 + OP2.
b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA3 nên AM vuông góc AA3
Mà AA3 vuông góc với OA3
Suy ra: AM // OA3 và AA3 // OM nên AMOA3 là hình bình hành.
Do đó: AM = OA3.
Chứng minh tương tự ta được: AN = OA1, AP = OA2.
Thay kết quả trên vào (4) ta được: OA3 mũ 2 + OA2 mũ 2 + OA1 mũ 2=2OA2.
Suy ra OA = căn ((OA1mũ 2+OA2mũ 2 +OA3mũ 2)/2).
Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.
Thay số vào kết quả trên ta được:
OA = căn ((1 mũ 2 + 2 mũ 2 + 3 mũ 2)/2)= căn 7(cm).
ĐỀ THI LIÊN QUAN:
-
34 câu hỏi 68 lượt thi