Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1

Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{2};6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{2};6\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3\sqrt{2}\right)$.

C. $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$ và $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$.

D. $\overrightarrow{c}=\left(1;3\right)$ và $\overrightarrow{d}=\left(2;-6\right)$.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1\right)$.

C. $\overrightarrow{z}=\left(a;b\right)$ và $\overrightarrow{t}=\left(-b;a\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{k}=\left(2;0\right)$.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)$.

B. $\overrightarrow{b}=\left(1;-1\right)$.

C. $\overrightarrow{c}=\left(2;\frac{1}{2}\right)$.

D. $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1: Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$ và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;0\right)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$

B. ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.$

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=45°.$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$       

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

B. Tự luận

Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1$ và $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$  

b) $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}.$

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.