Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB nên ta có phép đối xứng trục AB biến điểm M thành điểm N.

Ta có P là trung điểm của BN nên $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BN}$, do đó ta có phép vị tự tâm B, tỉ số $\frac{1}{2}$ biến điểm N thành điểm P.

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự $V_{\left(B,\frac{1}{2}\right)}$ biến điểm M thành điểm P.

Mặt khác M thuộc đường thẳng d cố định, A và B cố định, do đó P thuộc đường thẳng d' cố định là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự $V_{\left(B,\frac{1}{2}\right)}$.

Vậy P thuộc một đường thẳng cố định.​