Lời giải

Gọi x và y (m) lần lượt là bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn

Chu vi một nửa hình tròn bán kính y là: πy + 2y = (π + 2)y (m)

Khi đó chu vi của hai nửa hình tròn bán kính y là: 2(π + 2)y (m)

Chu vi của hình tròn bán kính x là: 2πx (m)

Theo giả thiết tổng chu vi của ba bể là 32 m nên 2πx + 2(π + 2)y = 32

                                                                        hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0

Gọi tổng diện tích ba bể sục là S (m2). Khi đó: πx2 + πy2 = S

⇒ x2 + y2 = $\frac{S}{\pi }$= $\frac{S}{\mathrm{3,14}}$.

Trong hệ trục toạ độ Oxy xét đường tròn (C) : x2 + y2 = $\frac{S}{\mathrm{3,14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R = $\sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0

Để S là nhỏ nhất thì khi đó bài toán trở thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung với hoành độ và tung độ đều là các số dương

Để (C) và d có ít nhất một điểm chung thì d(O; ∆) ≤ R

Ta có: d((O; ∆) = $\frac{\left|\mathrm{1,57.0}+\mathrm{2,57.0}–8\right|}{\sqrt{{\left(\mathrm{1,57}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,57}\right)}^2}}$ ≈ 2,66  ⇒ R ≥ 2,66

Dấu “=” xảy ra khi đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆. Do đó, GTNN của R = 2,66

Do đó, ta có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,57}x+\mathrm{2,57}y-8=0\left(1\right)\\ x^2+y^2={\mathrm{2,66}}^2\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) ta có:  $x=\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}$

Thay x vào phương trình (2) ta được: ${\left(\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}\right)}^2+y^2={\mathrm{2,66}}^2$ 

⇔ 2,572.y2 – 2.8.2,57.y + 82 + 1,572.y2 = 2,662.1,572

⇔ $({\mathrm{2,57}}^2+{\mathrm{1,57}}^2)y^2-\mathrm{2.8.2,57}y+64-{\mathrm{2,66}}^2{\mathrm{.1,57}}^2=0$

⇔ $\left[\begin{array}{l}{y}_1\approx \mathrm{2,34}\\ y_2\approx \mathrm{2,19}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_1\approx \mathrm{1,27}\\ x_2\approx \mathrm{1,51}\end{array}\right.$

Vậy để diện tích của các bể sục là nhỏ nhất thì bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn lần lượt là 1, 27m và 2,34m hoặc 1,51 m và 2,19 m