Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}_{}^2}}$ với $x>3$;

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}$ với $x>0$.

So sánh:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$;

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{9x_{}^4}$;

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}$ với $a>0$.

So sánh:

a. $\sqrt{16.0,25}$ và $\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$;

b. $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}$ với $x<-3$;

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}$.

Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt{7_{}^2}=?$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=?$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=?$ với a là một số cho trước.

Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất $p_1^{}$ và thể tích $V_1^{}$ đến áp suất $p_2^{}$ và thể tích $V_2^{}$ thỏa mãn đẳng thức: $\frac{p_1^{}}{p_2^{}}={\left(\frac{V_1^{}}{V_2^{}}\right)}_{}^2$. Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$ được hay không?

Chiều cao ngang vai của một con voi đực ở châu Phi là h (cm) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức: $h=62,5.\sqrt[3]{t}+75,8$ với t là tuổi của con voi tính theo năm.

a. Một con voi đực 8 tuổi có chiều cao ngang vai là bao nhiêu centimét?

b. Nếu một con voi đực có chiều cao ngang vai là 205cm thì con voi đó bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hệ quả của hiện tượng nóng lên toàn cầu là băng của một số sông băng đang tan chảy. Mười hai năm sau khi băng biến mất, những loài thực vật nhỏ bé, được gọi là địa y, bắt đầu mọc trên đá. Mỗi nhóm địa y phát triển ở dạng (gần như) một hình tròn. Đường kính $d\left(mm\right)$ của hình tròn này và tuổi của địa y có thể được tính gần đúng bằng công thức: $d=7\sqrt{t-12}$ với t là số năm tính từ khi băng biến mất $\left(t\ge 12\right)$. Tính đường kính của hình tròn do địa y tạo nên sau khi băng biến mất 13 năm; 16 năm.

Có hai xã A, B cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xác đó đến bờ sông lần lượt là $A{A}^{\prime }=500m,B{B}^{\prime }=600m$ và người ta đo dược $A^{\prime }{B}^{\prime }=2200m$. Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Giả sử vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó là điểm M trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ với $M{A}^{\prime }=x\left(m\right)$, $0<x<2200$ (minh họa ở Hình 6).

a. Hãy tính tổng khoảng cách $MA+MB$ theo $x$.

b. Tính tổng khoảng cách $MA+MB$ khi $x=1200$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:

a. $\sqrt[3]{3x+2}$

b. $\sqrt[3]{x^3-1}$

c. $\sqrt[3]{\frac{1}{2-x}}$

Tính giá trị của mỗi căn thức bậc ba sau:

a. $\sqrt[3]{2x-7}$ tại $x=-10;x=7,5;x=-0,5$

b. $\sqrt[3]{x^2+4}$ tại $x=0;x=2;x=\sqrt[]{23}$.

Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a. $\sqrt[]{x-6}$

b. $\sqrt[]{17-x}$

c. $\sqrt[]{\frac{1}{x}}$

Tính giá trị của mỗi căn thức bậc hai sau:

a. $\sqrt[]{17-x^2}$ tại $x=1;x=-3;x=2\sqrt[]{2}$;

b. $\sqrt[]{x^2+x+1}$ tại $x=0;x=-1;x=-7$.

Tìm điều kiện xác dịnh cho mỗi căn thức bậc ba sau:

a. $\sqrt[3]{x^2+x}$

b. $\sqrt[3]{\frac{1}{x-9}}$

Cho căn thức bậc ba $\sqrt[3]{\frac{2}{x-1}}$. Biểu thức đó có xác định hay không tại mỗi giá trị sau?

a. $x=17$.

b. $x=1$.

Tính giá trị của $\sqrt[3]{x^3}$ tại $x=3;x=-2;x=-10$.

Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc ba hay không?

a. $\sqrt[3]{2x^2-7}$;

b. $\sqrt[3]{\frac{1}{5x-4}}$;

c. $\frac{1}{7x+1}$.

Thể tích V của một khối lập phương được tính bởi công thức: $V=a^3$ với a là độ dài cạnh của khối lập phương. Viết công thức tính độ dài cạnh của khối lập phương theo thể tích V của nó.

Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc hai sau:

a. $\sqrt{x+1}$;

b. $\sqrt{x^2+1}$.

Cho căn thức bậc hai $\sqrt{x-1}$. Biểu thức đó có xác định hay không tại mỗi giá trị sau?

a. $x=0$.

b. $x=1$.

c. $x=2$.

Tính giá trị của $\sqrt{2x^2+1}$ tại:

a. $x=2$;

b. $x=-\sqrt{12}$.

Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc hai hay không?

a. $\sqrt{2x-5}$.

b. $\sqrt{\frac{1}{x}}$.

c. $\frac{1}{x+1}$.

Cửa hàng điện máy trưng bày một chiếc ti vi màn hình phẳng 55in, tức là độ dài đường chéo của màn hình tivi bằng 55in (1in = 2,54cm). Gọi $x\left(in\right)$ là chiều rộng của màn hìn tivi (Hình 5). Viết công thức tính chiều dài của màn hình ti vi theo $x$.

Để lái xe an toàn khi đi qua đoạn đường có dạng cung tròn, người lái cần biết tốc độ tối đa cho phép là bao nhiêu. Vì thế, ở những đoạn đường đó thường có bảng chỉ dẫn cho tốc độ tối đa cho phép của ô tô. Tốc độ tối đa cho phép $v\left(m/s\right)$ được tính bởi công thức $v=\sqrt{rg\mu }$, trong đó $r\left(m\right)$ là bán kính của cung đường, $g=9,8m/s^2$, $\mu$ là hệ số ma sát trượt của đường.

Hãy viết biểu thức tính $r$ khi biết $\mu =0,12$. Trong toán học, biểu thức đó được gọi là gì?

Tốc độ gần đúng của một ô tô ngay trước khi đạp phanh được tính theo công thức $v=\sqrt{2\lambda gd}$, trong đó $v\left(m/s\right)$ là tốc độ của ô tô, $d\left(m\right)$ là chiều dài của vết trượt tính từ thời điểm đạp phanh cho đến khi ô tô dừng lại trên đường, $\lambda$ là hệ số cản lăn của mặt đường, $g=9,8m/s^2$. Nếu một ô tô để lại vết trượt dài khoảng 20m trên đường nhựa thì tốc độ của ô tô trước khi đạp phanh là khoảng bao nhiêu mét trên giây (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng hệ số cản lăn của đường nhựa là $\lambda =0,7$.

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh a. Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC theo a.

So sánh:

a. $\sqrt{3}.\sqrt{7}$ và $\sqrt{22}$;

b. $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{2}}$ và $5$;

c. $3\sqrt{7}$ và $\sqrt{65}$.

Áp dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $9\sqrt{\frac{2}{9}}-3\sqrt{2}$

b. $\left(2\sqrt{3}+\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{12}-\sqrt{11}\right)$

Áp dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{75}$;

b. $2\sqrt{80}-2\sqrt{5}-3\sqrt{20}$;

c. $\sqrt{2,8}.\sqrt{0,7}$.

Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a. $\sqrt{36.81}$

b. $\sqrt{\mathrm{49.121.169}}$

c. $\sqrt{{50}^2-{14}^2}$

d. $\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}$

Tính:

a. $\sqrt{{25}^2}$;

b. $\sqrt{{\left(-0,16\right)}^2}$;

c. $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}$.

Rút gọn biểu thức:

a. $-7\sqrt{\frac{1}{7}}$;

b. $6\sqrt{\frac{11}{6}}-\sqrt{66}$.

So sánh:

a. $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{3^2.5}$

b. $-5\sqrt{2}$ và $-\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}$.

Rút gọn biểu thức: $\sqrt{3}+\sqrt{12}-\sqrt{27}$.

So sánh:

a. $\sqrt{3^2.11}$ và $3\sqrt{11}$

b. $\sqrt{{\left(-5\right)}^2.2}$ và $-\left(-5\sqrt{2}\right)$

Trong tình huống nêu ra ở phần mở đầu, viết hệ số phục hồi của quả bóng rổ dưới dạng phân số.

So sánh $\sqrt{\frac{16}{25}}$ và $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$.