a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a (Hình 6a). Tính độ dài cạnh huyền BC theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 45°.

b) Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng a (Hình 6b). Tính độ dài đường cao MH theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 30° và góc 60°.

Sử dụng tỉ số lượng giác để giải thích tình huống trong Hoạt động khởi động (trang 60).

Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}},$  so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$  và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có $\widehat{B}=90°$ ở Hình 5 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho góc nhọn $\widehat{mOn}=\alpha .$ Lấy hai điểm A và A' trên On, kẻ hai đường thẳng qua A và A' vuông góc với On cắt Om lần lượt tại B và B'.

a) Có nhận xét gì về hai tam giác OAB và OA'B' ?

b) So sánh các cặp tỉ số:

$\frac{AB}{OA}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{A}^{\text{'}}};\frac{AB}{OB}$và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}};\frac{OA}{OB}$và $\frac{O{A}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}}.$

Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}},$ so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Cho biểu thức $P=\left(\frac{1}{a+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}\right):\frac{\sqrt{a}-1}{a+2\sqrt{a}+1}$ với a > 0 và a $\ne$1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi a = 0,25

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(a\sqrt{\frac{3}{a}}+3\sqrt{\frac{a}{3}}+\sqrt{12a^3}\right):\sqrt{3}a$ với a > 0

b) $\frac{1-a}{1+\sqrt{a}}+\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 1$

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài $\sqrt{12}$cm, chiều rộng$\sqrt{8}$cm, chiều cao $\sqrt{6}$ như Hình 2.

a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

Một trục số được vẽ trên lưới ô vuông như Hình 1.

a) Đường tròn tâm O bán kính OA cắt trục số tại hai điểm M và N. Hai điểm M và N biểu diễn hai số thực nào?

b) Đường tròn tâm B bán kính BC cắt trục số tại hai điểm P và Q. Hai điểm P và Q biểu diễn hai số thực nào?

Tính $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

Biết rằng a > 0, b > 0 và ab = 16. Tính giá trị của biểu thức $A=a\sqrt{\frac{12b}{a}}+b\sqrt{\frac{3a}{b}}$.

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4-2\sqrt{6}}{\sqrt{48}}$

b) $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

c) $\frac{a}{a-\sqrt{a}}$ với a > 0, a $\ne$1

Biết rằng 1 < a < 5, rút gọn biểu thức

A = $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-5\right)}^2}$.

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2\sqrt{a}+\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{a}-\sqrt{2}}$ với $a\ge 0$, $a\ne \frac{1}{2}$, ta có kết quả

A. $\frac{\sqrt{2}}{1-2a}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2a-1}$

C. $\frac{\sqrt{a}}{2a-1}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{1-a}$

Kết quả của phép tính $\sqrt{27}:\sqrt{6}.2\sqrt{18}$ là

A. 12

B. 18

C. 72

D. 144

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a}$ với a > 0, ta có kết quả

A. $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{a}}$

B. $\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)\sqrt{a}}{3a}$

C. $\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{a}}{a}$

D. $\sqrt{2a}-\sqrt{a}$

Cho a = $2\sqrt{3}+\sqrt{2}$, b = $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$. Rút gọn biểu thức $\sqrt{3}a-\sqrt{2}b$, ta có kết quả

A. $3\sqrt{6}$

B. $-\sqrt{6}$

C. $6\sqrt{3}$

D. $12-\sqrt{6}$

Rút gọn biểu thức $\sqrt{9a}-\sqrt{16a}+\sqrt{64a}$ với $a\ge 0$, ta có kết quả

A. $15\sqrt{a}$

B. 15a

C. $7\sqrt{a}$

D. 7a

Biết rằng ${\left(2,6\right)}^2=6,76$, giá trị của biểu thức $\sqrt{0,0676}$ bằng

A. 0,0026

B. 0,026

C. 0,26

D. 2,6

Đẳng thức nào sau đây không đúng?

A. $\sqrt{16}+\sqrt{144}=16$

B. $\sqrt{0,64}.\sqrt{9}=2,4$

C. $\sqrt{{(-18)}^2}:\sqrt{6^2}=3$

D. $\sqrt{{(-3)}^2}-\sqrt{7^2}=-10$

Giá trị của biểu thức $\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}$ bằng

A. 0

B. -2

C. 4

D. 5

Có bao nhiêu số tự nhiên x để $\sqrt{16-x}$ là số nguyên?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Biểu thức nào dưới đây có giá trị khác với các biểu thức còn lại?

A. ${\left(-\sqrt{5}\right)}^2$

B. $\sqrt{5^2}$

C. $\sqrt{{\left(-5\right)}^2}$

D. $-{\left(\sqrt{5}\right)}^2$

Một vườn hoa gồm ba thửa hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích như Hình 5. Tính chu vi của vườn hoa đó.

Tam giác ABC được vẽ trên ô vuông như Hình 4. Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

Chứng minh rằng:

a) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=a-b$ với a > 0; b > 0

b) $\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a$ với a $\ge$ 0 và a $\ne$1

Tính

a) $\left(\sqrt{\frac{4}{3}}+\sqrt{3}\right)\sqrt{6}$

b) $\sqrt{18}:\sqrt{6}+\sqrt{8}.\sqrt{\frac{27}{2}}$

c) ${\left(1-2\sqrt{5}\right)}^2$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{3}-\sqrt{27}$

b) $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$

c) $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ với a > 0

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$

b) $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}$

c) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a > 0; b > 0, $a\ne b$.

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{4}{7}}$

b) $\sqrt{\frac{5}{24}}$

c) $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ với a > 0

d) $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ với a < 0, b > 0

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

b) $\frac{10}{3\sqrt{5}}$

c) $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12}a}$ với a > 0

Trả lời câu hỏi trong hoạt động khởi động trang 52.

Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3}+4x\sqrt{\frac{x}{4}}-x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$ với x > 0

b) $\frac{a^2-5}{a+\sqrt{15}}$ với a $\ne -\sqrt{5}$

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{20}-\sqrt{5}$

b) $\sqrt{32}-\sqrt{18}+\frac{4}{\sqrt{2}}$

c) $\left(2-\sqrt{10}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)$

Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như Hình 3.

a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF.

b) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau.

Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang.

Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{11}{6}}$

b) $a\sqrt{\frac{2}{5a}}$ với a > 0

c) $4x\sqrt{\frac{3}{4xy}}$ với x > 0; y > 0

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

b) $-\frac{10}{3\sqrt{5}}$

c) $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{40}}$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

Bốn ô cửa hình vuông diện tích $\frac{1}{2}{m}^2$ ghép thành cửa sổ Hình 1.

a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh a (m) của mỗi ô cửa.

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích?

b) Biết rằng $\sqrt{2}\approx 1,4142$. Không dùng máy tính cầm tay, hai bạn tìm giá trị gần đúng của độ dài mỗi ô cửa.

Theo em, bạn nào sẽ tìm ra đáp án nhanh hơn?