Câu hỏi:

110 lượt xem
Tự luận

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề Toán 11Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho EF không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

 

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Ta có: EF=m (m > 0) không đổi.

Đặt u=EF u0u không đổi, khi đó u=m không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ -u. Khi đó BG=u. Vì B cố định và u không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và EF=u=BG hay EF=GB. Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho E'F'=u và E'F'=u=m.

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ