Câu hỏi:
55 lượt xemLời giải
Hướng dẫn giải:
Ta có \[A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}\].
Đặt \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Ta có vì \[2 > 1\] nên \[2\,\,.\,\,2 > 1\,\,.\,\,2\].
Suy ra \(\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}}\);
Tương tự:
\(\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}}\);
….
\(\frac{1}{{{{2012}^2}}} = \frac{1}{{2012.2012}} < \frac{1}{{2011.2012}}\);
\(\frac{1}{{{{2013}^2}}} = \frac{1}{{2013.2013}} < \frac{1}{{2012.2013}}\).
Do đó \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \frac{1}{{2011.2012}} + \,\frac{1}{{2012.2013}}\).
Suy ra \[A < \;B\].
Mà \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{2012 - 2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013 - 2012}}{{2012.2013}}\)
\( = \frac{2}{{1.2}} - \frac{1}{{1.2}} + \frac{3}{{2.3}} - \frac{2}{{2.3}} + ... + \frac{{2012}}{{2011.2012}} - \frac{{2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013}}{{2012.2013}} - \frac{{2012}}{{2012.2013}}\)
\[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2013}}\]\( = 1 - \frac{1}{{2013}} < 1\).
Do đó \[B < 1\] nên \[A < B < 1\].
Vậy \[A < 1\].
Cho là trung điểm của đoạn thẳng . Biết cm, độ dài của đoạn thẳng là
1. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):
a) ; b) .
2. Tìm :
a) ; b) .
