Câu hỏi:

76 lượt xem
Tự luận

Cho A=122+132+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +120122+120132A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}. Chứng tỏ A<1A < 1.

Xem đáp án

Xem thêm: Đề thi Giữa học kì 2 Toán 6 có đáp án (Đề 6)

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có A=122+132+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +120122+120132A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}}.

Đặt B=11.2+12.3+.......+ 12012.2013B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}.

Ta có vì 2>12 > 1 nên 2  .  2>1  .  22\,\,.\,\,2 > 1\,\,.\,\,2.

Suy ra 122=12.2<11.2\frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{{2.2}} < \frac{1}{{1.2}};

Tương tự:

132=13.3<12.3\frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{3.3}} < \frac{1}{{2.3}};

….

120122=12012.2012<12011.2012\frac{1}{{{{2012}^2}}} = \frac{1}{{2012.2012}} < \frac{1}{{2011.2012}};

120132=12013.2013<12012.2013\frac{1}{{{{2013}^2}}} = \frac{1}{{2013.2013}} < \frac{1}{{2012.2013}}.

Do đó 122+132+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +120122+120132<11.2+12.3+.......+12011.2012+ 12012.2013\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} +  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  \cdot  + \frac{1}{{{{2012}^2}}} + \frac{1}{{{{2013}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \frac{1}{{2011.2012}} + \,\frac{1}{{2012.2013}}.

Suy ra A<  BA < \;B.

Mà B=11.2+12.3+.......+ 12012.2013B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ....... + \,\frac{1}{{2012.2013}}

=2−11.2+3−22.3+...+2012−20112011.2012+2013−20122012.2013 = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + ... + \frac{{2012 - 2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013 - 2012}}{{2012.2013}}

=21.2−11.2+32.3−22.3+...+20122011.2012−20112011.2012+20132012.2013−20122012.2013 = \frac{2}{{1.2}} - \frac{1}{{1.2}} + \frac{3}{{2.3}} - \frac{2}{{2.3}} + ... + \frac{{2012}}{{2011.2012}} - \frac{{2011}}{{2011.2012}} + \frac{{2013}}{{2012.2013}} - \frac{{2012}}{{2012.2013}}

=1−12+12−13+...+12012−12013 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} - \frac{1}{{2013}}=1−12013<1 = 1 - \frac{1}{{2013}} < 1.

Do đó B<1B < 1 nên A<B<1A < B < 1.

Vậy A<1A < 1.

​

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Bạn An liệt kê tên một số con gia cầm để làm bài tập môn công nghệ. Kết quả nào sau đây là đúng?

Rắn, gà, chó, trâu, bò;
Chó, mèo, gà, vịt;
Gà, vịt, ngan, ngỗng;
Lợn, gà, vịt, chó.
1 năm trước 84 lượt xem
Câu 2:

Biểu đồ kép dưới đây biểu diễn số học sinh giỏi hai môn Toán và Ngữ văn của các lớp 6A, 6B, 6C, 6D và 6E.

Lớp có số học sinh giỏi Ngữ văn nhiều nhất là

Lớp 6C;
Lớp 6B;
Lớp 6D;
Lớp 6E.
1 năm trước 98 lượt xem
Câu 3:

Trong cách viết sau đây, cách viết nào cho ta phân số?

30\frac{3}{0};
−45\frac{{ - 4}}{5};
1,52\frac{{1,5}}{2};
−71,2\frac{{ - 7}}{{1,2}}.
1 năm trước 78 lượt xem
Câu 4:

Phần tô màu trong hình sau biểu diễn phân số nào?

14\frac{1}{4};
12\frac{1}{2};
23\frac{2}{3};
58\frac{5}{8}.
1 năm trước 82 lượt xem
Câu 5:

Kết quả phép tính -713⋅611⋅137 là

−116\frac{{ - 11}}{6};
611\frac{6}{{11}};
−711\frac{{ - 7}}{{11}};
−611\frac{{ - 6}}{{11}}.
1 năm trước 143 lượt xem
Câu 6:

  ↵

Cho hình vẽ sau. Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là

C∉aC \notin a;
C∈aC \in a;
A∉aA \notin a;
B∈aB \in a.
1 năm trước 82 lượt xem
Câu 7:

Nếu điểm II nằm giữa hai điểm AA và BB thì:

Tia AIAI và tia ABAB đối nhau;
Tia IAIA và tia IBIB đối nhau;
Tia BABA và tia BI đối nhau;
Tia ABAB và tia BABA đối nhau.
1 năm trước 79 lượt xem
Câu 8:

Cho II là trung điểm của đoạn thẳng ABAB. Biết AB=10AB = 10 cm, độ dài của đoạn thẳng IBIB là

5 cm;
4 cm;
6 cm;
20 cm.
1 năm trước 102 lượt xem
Câu 9:
Tự luận

1. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) 23+(57+−23)\frac{2}{3} + \left( {\frac{5}{7} + \frac{{ - 2}}{3}} \right);                                             b) 517.−73+817.−73+−73.417\frac{5}{{17}}.\frac{{ - 7}}{3} + \frac{8}{{17}}.\frac{{ - 7}}{3} + \frac{{ - 7}}{3}.\frac{4}{{17}}.

2. Tìm xx:

a) x14=−8121\frac{x}{{14}} = \frac{{ - 81}}{{21}};                                                            b) 12x2−412=0\frac{1}{2}{x^2} - 4\frac{1}{2} = 0.
1 năm trước 78 lượt xem
Câu 10:
Tự luận

Khi khảo sát một nhóm gồm 40 học sinh lớp 6 về việc học môn toán đã cho kết quả gồm ba loại như sau: 60% học sinh thích học toán, số học sinh thấy việc học toán cũng bình thường bằng 12\frac{1}{2} số học sinh thích học toán; còn lại là các học sinh không thích và sợ học toán.

a) Tính số học sinh mỗi loại trong nhóm được khảo sát.

b) Tính số phần trăm giữa số học sinh không thích và sợ học toán so với tổng số học sinh được khảo sát.
1 năm trước 83 lượt xem
Câu 11:
Tự luận

Sao đỏ theo dõi và ghi lại số học sinh đi học muộn trong tuần qua của khối 6 thì thu được bảng thống kê sau:

Lớp

6A

6B

6C

6D

Số học sinh đi học muộn

3

4

2

6

a) Trong tuần qua khối 6 có bao nhiêu học sinh đi học muộn? Vẽ biểu đồ cột minh họa số học sinh khối 6 đi học muộn trong tuần qua.

b) Số học sinh đi học muộn của lớp 6A chiếm bao nhiêu % so với số học sinh đi muộn của cả khối?
1 năm trước 212 lượt xem
Câu 12:
Tự luận

Cho đoạn thẳng ABAB dài 6 cm. Trên tia ABAB lấy điểm MM sao cho AM=3AM = 3 cm.

a) Điểm MM có nằm giữa AA và BB không? Vì sao?

b) So sánh AMAM và MBMB. Từ đó chứng minh MM là trung điểm của đoạn thẳng ABAB.
1 năm trước 67 lượt xem

ĐỀ THI LIÊN QUAN: