Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + n. Số hạng u₄ là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 1 – n².

B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = n sin n.

D. $u_n=\frac{2-n}{n+1}$.

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = – 2n + 1.

B. u_n = n² – n + 1.

C.u_n = (– 1)ⁿ 2ⁿ.

D. u_n = 1 + sin n.

Cho dãy số $u_n=2020\sin \frac{n\pi }{2}+2021\cos \frac{n\pi }{3}$. Mệnh nào dưới đây là đúng?

A. u_{n + 6} = u_n.

B. u_{n + 9} = u_n.

C. u_{n + 4} = u_n.

D. u_{n + 12} = u_n.

Chọn cấp số cộng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 3ⁿ + 2.

B. u_n = $\frac{3}{n}$ + 1.

C. u_n = 3n.

D. u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + n.

Chọn cấp số nhân trong các dãy số (un) sau:

A. u_n = 2n.

B. $u_n=\frac{2}{n}$.

C. u_n = 2n.

D. u₁ = 1, u_n + 1 = nun.

Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}$ bằng

A. $2+\frac{1}{2^n}$

B. $2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

C. $2-\frac{1}{2^{n+1}}$.

D. $2-\frac{1}{2^n}$.

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng.

B. 158 687 000 đồng.

C. 125 971 000 đồng.

D. 112 486 000 đồng.

Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?

A. 40.

B. 30.

C. 20.

D. 10.

Trong các dãy số (u_n) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) u₁ = 2, u_{n + 1} = u_n + n;

b) u_n = 6n + 3;

c) u₁ = 1, u_{n + 1} = n ∙ u_n;

d) u_n = 3 . 5ⁿ.

Chứng minh rằng:

a) Nếu a₁, a₂, a₃, ... và b₁, b₂, b₃, ... là hai cấp số cộng thì a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ... cũng là cấp số cộng.

b) Nếu a₁, a₂, a₃, ... và b₁, b₂, b₃, ... là hai cấp số nhân thì a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, ... cũng là cấp số nhân.

Một con chó con nặng 0,4 kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử un (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

a) Viết lần lượt các công thức tính u₂, u₃. Từ đó dự đoán công thức của u_n.

b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút T_n mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số T_n.

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số (T_n).

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?

Một dãy số (u_n) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u₁ = a, u_{n + 1} = qu_n + d.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Thiết lập công thức tính tổng S_n của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (u_n).