Câu hỏi:
56 lượt xemCho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) GBC cân tại G
Lời giải
Hướng dẫn giải:
|
GT |
ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G |
|
KL |
a) BM = CN; b) GBC cân tại G. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).
Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó (2)
CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.
Xét ABM và ACN có:
AM = AN (chứng minh trên).
là góc chung,
AB = AC (chứng minh trên)
Do đó ABM = ACN (c.g.c)
Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra BG = BM; CG = CN (tính chất trọng tâm của tam giác).
Mà BM = CN (chứng minh câu a)
Do đó BG = CG.
Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.
Vậy GBC cân tại G.
Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.
Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104.
