Câu hỏi:
26 lượt xemCho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:
a) GA = GD;
b) MBG = MCD;
c) CD = 2GN.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
|
GT |
ABC, hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G, D ∈ tia đối của tia MA, MD = MG. |
|
KL |
a) GA = GD; b) MBG = MCD; c) CD = 2GN. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó GM = GA (tính chất trọng tâm của tam giác).
Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD.
Suy ra GM = GD.
Do đó GA = GD.
Vậy GA = GD.
b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.
Xét MBG và MDC có:
MB = MC (giả thiết),
(hai góc đối đỉnh),
MG = MD (chứng minh trên),
Do đó MBG = MDC (c.g.c).
c) Vì MBG = MDC (chứng minh câu b) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).
Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.
Do đó CD = 2GN.
Vậy CD = 2GN.
Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.
Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104.
