a) Tam giác ABC vuông tại A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ nhau, do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=90°.$

Suy ra $\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ 

Mà  $\widehat{B}=60°$ nên $\widehat{C}=90°-60°=30°$ 

Xét tam giác CAM có $\widehat{CAM}=\widehat{C}=30°$ nên tam giác CAM là tam giác cân tại M.

b) Ta có $\widehat{CAM}<\widehat{CAB}$ (do 30° < 90°) nên tia AM nằm giữa hai tia AB và AC.

Khi đó $\widehat{CAB}=\widehat{CAM}+\widehat{MAB}$.

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{CAB}-\widehat{CAM}=90°-30°=60°$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác cho tam giác BAM có: $\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{AMB}=180°$.

Suy ra $\widehat{AMB}=180°-\widehat{B}-\widehat{MAB}.$ 

$\widehat{AMB}=180°-60°-60°=60°.$

Khi đó $\widehat{AMB}=\widehat{B}=\widehat{MAB}=60°$.

Suy ra tam giác BAM là tam giác đều.

c) Tam giác AMC cân tại M (chứng minh câu a) nên MA = MC (định nghĩa tam giác cân).

Tam giác BAM là tam giác đều (chứng minh câu b) nên MA = MB (định nghĩa tam giác đều).

Suy ra MB = MC (= MA).

Mà M nằm trên cạnh BC (theo giả thiết)

Do đó M là trung điểm của BC.