Câu hỏi:

99 lượt xem
Tự luận

Chứng minh 122+132+142+...+120222<1\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2022}^2}}} < 1.

Xem đáp án

Xem thêm: Đề thi Giữa học kì 2 Toán 6 có đáp án (Đề 4)

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có: 122<11.2\frac{1}{{{2^2}}} < \frac{1}{{1.2}}; 132<12.3\frac{1}{{{3^2}}} < \frac{1}{{2.3}}; 142<13.4\frac{1}{{{4^2}}} < \frac{1}{{3.4}};…; 120212<12020.2021\frac{1}{{{{2021}^2}}} < \frac{1}{{2020.2021}}.

Đặt A=122+132+142+...+120222A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2022}^2}}}

=122+132+142+...+120222<11.2+12.3+13.4+...+12020.2021 = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2022}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2020.2021}}

⇒A<1−12+12−13+13−14+...+12020−12021 \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2021}}

⇒A<1−12021 \Rightarrow A < 1 - \frac{1}{{2021}}

⇒A<20202021 \Rightarrow A < \frac{{2020}}{{2021}}.

Vì 2020<20212020 < 2021 nên 20202021<1\frac{{2020}}{{2021}} < 1.

Do đó A<20202021<1A < \frac{{2020}}{{2021}} < 1.

Vậy 122+132+142+...+120222<1\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2022}^2}}} < 1 (đpcm).

​

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nam thực hiện đo khối lượng riêng của viên đá (đơn vị là kg/m3) trong 5 lần và kết quả ghi lại như sau:

Lần đo

Lần 1

Lần 2

Lần 3

Lần 4

Lần 5

Kết quả đo

4  8794\,\,879

4  9024\,\,902

750

4  6644\,\,664

800

Biết khối lượng riêng của nước là 1  0001\,\,000 kg/m3. Trong các kết quả Nam đã ghi lại ở trên, số các kết quả không hợp lí là

0;
3;
1;
2.
1 năm trước 290 lượt xem
Câu 2:

Biểu đồ ở hình dưới đây thống kê sĩ số đầu năm và cuối năm của bốn lớp 6A1, 6A2, 6A3 và 6A4.

Trong số bốn lớp trên, lớp nào không có sự thay đổi về sĩ số đầu năm so với cuối năm?

6A3;
6A1;
6A2;
6A4.
1 năm trước 100 lượt xem
Câu 3:

Trong các cách viết sau, cách viết nào không cho ta phân số?

−23−24\frac{{ - 23}}{{ - 24}};
16−7\frac{{16}}{{ - 7}};
220\frac{{22}}{0};
n12  (n∈N)\frac{n}{{12}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right).
1 năm trước 100 lượt xem
Câu 4:

Phân số nào trong các phân số sau là phân số tối giản?

1215\frac{{12}}{{15}};
−2763\frac{{ - 27}}{{63}};
−1951\frac{{ - 19}}{{51}};
−330\frac{{ - 3}}{{30}}.
1 năm trước 84 lượt xem
Câu 5:

Kết quả của phép tính 4210:−3215\frac{{{4^2}}}{{10}}:\frac{{ - 32}}{{15}} bằng  

−34\frac{{ - 3}}{4}.
−38\frac{{ - 3}}{8}.
−32\frac{{ - 3}}{2}.
34\frac{3}{4}.
1 năm trước 64 lượt xem
Câu 6:

Điểm AA không thuộc đường thẳng dd được kí hiệu là

A⊂dA \subset d;
A∉dA \notin d;
A∈dA \in d;
d⊂Ad \subset A.
1 năm trước 69 lượt xem
Câu 7:

Khẳng định nào sau đây sai?

Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau;
Hai đường thẳng có điểm chung thì chúng cắt nhau;
Ba điểm thẳng hàng khi ba điểm đó thuộc cùng một đường thẳng;
Hai đường thẳng trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung.
1 năm trước 98 lượt xem
Câu 8:

Điểm MM là trung điểm của đoạn thẳng ABAB khi và chỉ khi

MA=MBMA = MB;
MA+MB=ABMA + MB = AB;
MA=2MBMA = 2MB;
MA=MB=AB2.MA = MB = \frac{{AB}}{2}.
1 năm trước 93 lượt xem
Câu 9:
Tự luận

1. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) 15−14\frac{1}{5} - \frac{1}{4};                                                     b) 27.815+27.115−27\frac{2}{7}.\frac{8}{{15}} + \frac{2}{7}.\frac{1}{{15}} - \frac{2}{7}.

2. Tìm xx:

a) x−25=−23x - \frac{2}{5} = \frac{{ - 2}}{3};                                            b) 27(3x−15)3= −827{\left( {3x - \frac{1}{5}} \right)^3} =  - 8.
1 năm trước 73 lượt xem
Câu 10:
Tự luận

Bạn An đọc một quyển sách dày 120 trang trong 3 ngày. Biết ngày thứ nhất bạn đọc được 25\frac{2}{5} số trang.

a) Hỏi ngày thứ nhất bạn An đọc được bao nhiêu trang sách?

b) Biết rằng ngày thứ hai bạn đọc được 23\frac{2}{3} số trang còn lại. Tính số trang bạn An đọc được trong ngày thứ ba.
1 năm trước 99 lượt xem
Câu 11:
Tự luận

1. Biểu đồ tranh dưới đây biểu diễn số lượng đôi giày da nam bán được của một cửa hàng trong 4 năm gần đây:

Lập bảng thống kê số đôi giày da nam cửa hàng bán được trong 4 năm và vẽ biểu đồ cột biểu diễn bảng thống kê đó.

2. Bạn Nam rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ hộp. Sau 20 lần rút thẻ liên tiếp bạn Nam ghi lại kết quả như sau:

2

3

4

1

2

5

4

3

1

3

4

5

2

2

3

5

1

4

2

4

Tính xác suất thực nghiệm bạn Nam rút được thẻ ghi số lớn hơn 3.
1 năm trước 79 lượt xem
Câu 12:
Tự luận

Cho điểm MM trên tia OMOM sao cho OM=5OM = 5 cm. Gọi NN là điểm trên tia đối của tia OMOM và cách OO một khoảng bằng 7 cm.

a) Vẽ hình và tính độ dài đoạn thẳng MNMN.

b) Gọi KK là trung điểm của đoạn thẳng MNMN. Tính độ dài đoạn thẳng MKMK.
1 năm trước 77 lượt xem

ĐỀ THI LIÊN QUAN: