Câu hỏi:
57 lượt xem3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Giải Toán 11 trang 50
HĐ3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d.
Để tính tổng của n số hạng đầu
Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un,
hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng Sn theo số hạng đầu u1 và công sai d.
b) Viết Sn theo thứ tự ngược lại: Sn = un + un – 1 + ... + u2 + u1 và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo u1 và d.
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính Sn theo u1 và d.
Lời giải
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: u2 = u1 + d; ...; un – 1 = u1 + (n – 1 – 1)d = u1 + (n – 2)d; un = u1 + (n – 1)d.
Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un
= u1 + (u1 + d) + ... + [u1 + (n – 2)d] + [u1 + (n – 1)d]
b) Sn = un + un – 1 + ... + u2 + u1
= [u1 + (n – 1)d] + [u1 + (n – 2)d] + ... + (u1 + d) + u1
c) Ta có:
Sn + Sn = {u1 + (u1 + d) + ... + [u1 + (n – 2)d] + [u1 + (n – 1)d]} + {[u1 + (n – 1)d] + [u1 + (n – 2)d] + ... + (u1 + d) + u1}
⇔ 2Sn = {u1 + [u1 + (n – 1)d]} + {(u1 + d) + [u1 + (n – 2)d]} + ... + {[u1 + (n – 2)d] + (u1 + d)} + {[u1 + (n – 1)d] + u1}
⇔ 2Sn = [2u1 + (n – 1)d] + [2u1 + (n – 1)d] + ... + [2u1 + (n – 1)d] + [2u1 + (n – 1)d]
⇔ 2Sn = n . [2u1 + (n – 1)d]
⇔ Sn = [2u1 + (n – 1)d] .