Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) u_n = n² + n + 1;

b) $u_n=\frac{2n+5}{n+2}$;

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_n=\frac{n}{2n+1}$;

b) u_n = n² + n – 1;

c) u_n = – n² + 1.

Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

u₁ = k, $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}}\right)$ với n ≥ 2,

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$.

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u₅ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

b) $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).

Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi

u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + (n + 1).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}$.

c) Chứng minh rằng u_{n + 1} + u_n = (n + 1)², tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau n năm nữa được cho bởi công thức

A_n = 2,5 . (1,035)ⁿ (tỉ đồng).

Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

$A_n=200{\left(1+\frac{\mathrm{0,03}}{4}\right)}^n$, n = 0, 1, 2, ...

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với 1,0 × 10⁹ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 × 10⁸ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.