Bài tập cuối chương 1

 

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 1

Bài giảng Toán 11 Bài tập cuối chương 1

Giải Toán 11 trang 40 Tập 1

Trắc nghiệm

Bài 1.23 trang 40 Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha =-\frac{5\pi }{6}$, $\beta =\frac{\pi }{3}$, $\gamma =\frac{25\pi }{3}$, $\delta =\frac{17\pi }{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

A. β và γ.

B. α, β, γ.

C. β, γ, δ.

D. α và β.

Đáp án đúng là: A

+ Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác $\alpha =-\frac{5\pi }{6}$, $\beta =\frac{\pi }{3}$ , $\gamma =\frac{25\pi }{3}$, $\delta =\frac{17\pi }{6}$ trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

+ Cách 2: Ta có: $\gamma =\frac{25\pi }{3}=\frac{24\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=4.2\pi +\frac{\pi }{3}=\beta +4.2\pi$.

Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

Bài 1.25 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b.

B. sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

C. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b.

D. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Đáp án đúng là: A

Ta có các công thức cộng:

cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Vậy đáp án A sai.

Bài 1.26 trang 40 Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b), ta được:

A. M = sin 4a.

B. M = 1 – 2 cos2 a.

C. M = 1 – 2 sin2 a.

D. M = cos 4a.

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)

= cos[(a + b) + (a – b)] (áp dụng công thức cộng)

= cos 2a = 2cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a (áp dụng công thức nhân đôi)

Bài 1.27 trang 40 Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.

B. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [– 1; 1].

C. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.

D. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cos x:

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.

Bài 1.28 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. y = tan x + x.

B. y = x2 + 1.

C. y = cot x.

D. y = $\frac{\sin x}{x}$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Bài 1.29 trang 40 Toán 11 Tập 1: Đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 7.

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là nghiệm của phương trình sin x = cos x ⇔ tan x = 1 (do $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$)

 

 

 

 

 

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Ta có: $-2\pi \le \frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{2}$$\iff -\frac{9\pi }{4}\le k\pi \le \frac{9\pi }{4}$$\iff -\mathrm{2,25}\le k\le \mathrm{2,25}$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

Vậy đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ .

Bài 1.30 trang 40 Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số $y=\frac{\cos x}{\sin x-1}$ là

A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

B. $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

C. $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

D. ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.

​Đáp án đúng là: B

Biểu thức $\frac{\cos x}{\sin x-1}$ có nghĩa khi sin x – 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

Giải Toán 11 trang 41 Tập 1

Tự luận

Bài 1.31 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi ,\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{3}}.$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ ;

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$ ;

c) $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$;

d) $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$ .

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên sin α > 0. Mặt khác từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra

 

 

 

 

 

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

a) $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$$=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

 

 

 

 

 

$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$.

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)$$=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

 

 

 

 

 

$=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{-3-\sqrt{6}}{6}$.

c) $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$$=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

 

 

 

 

 

$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+3}{6}$.

d) $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$$=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$

 

 

 

 

 

$=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{6}$.

Bài 1.32 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α;

b) cos4 α – sin4 α = cos 2α.

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2 α + cos2 α = 1

và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.

Ta có: VT = (sin α + cos α)2 = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2 α + cos2 α = 1

và công thức nhân đôi: cos 2α = cos2 α – sin2 α.

Ta có: VT = cos4 α – sin4 α = (cos2 α)2 – (sin2 α)2

= (cos2 α + sin2 α)(cos2 α – sin2 α) = 1 . cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).

Bài 1.33 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ ;

b) y = sin x + cos x.

a) Ta có: $-1\le \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

 

 

 

 

 

$\iff -2\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2$ với mọi x ∈ ℝ

 

 

 

 

 

$\iff -2-1\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\le 2-1$ với mọi x ∈ ℝ

 

 

 

 

 

$\iff -3\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ là [– 3; 1].

b) Ta có: sin x + cos x = $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$

 

 

 

 

 

$=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cos x\right)$

 

 

 

 

 

$=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$

 

 

 

 

 

$=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Khi đó ta có hàm số y $=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Lại có: $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

 

 

 

 

 

$\iff -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

 

 

 

 

 

$\iff -\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ

Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là $\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ .

Bài 1.34 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

b) 2sin2 x – 1 + cos 3x = 0;

c) $\tan \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

 

 

 

 

$\iff \cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{3\pi }{4}$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=\pi +k2\pi \\ 3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ và $x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ .

b) 2sin2 x – 1 + cos 3x = 0

⇔ – (1 – 2sin2 x) + cos 3x = 0

⇔ – cos 2x + cos 3x = 0

⇔ cos 3x = cos 2x

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}3x=2x+k2\pi \\ 3x=-2x+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ 5x=k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=k\frac{2\pi }{5}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ và $x=k\frac{2\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$ .

c) $\tan \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)=\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff 2x+\frac{\pi }{5}=x-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

 

 

 

 

 

$\iff x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{11\pi }{30}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

Bài 1.35 trang 41 Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

p(t) = 115 + 25sin(160πt),

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t).

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

a) Chu kì của hàm số p(t) là T = $\frac{2\pi }{160\pi }=\frac{1}{80}$ .

b) Thời gian giữa hai lần tim đập là $T=\frac{1}{80}$ (phút)

Số nhịp tim mỗi phút là $1:\frac{1}{80}=80$ nhịp.

c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ

⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25 với mọi t ∈ ℝ

⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ

Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.

Bài 1.36 trang 41 Toán 11 Tập 1:Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

 

 

 

 

 

$\frac{\sin i}{\sin \text{r}}=\frac{n_2}{n_1}$.

Ở đây, n1 và n2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Theo bài ra ta có: i = 50°, n1 = 1, n2 = 1,33, thay vào $\frac{\sin i}{\sin \text{r}}=\frac{n_2}{n_1}$ ta được:

 

 

 

 

 

$\frac{\sin 50°}{\sin r}=\frac{\mathrm{1,33}}{1}$ (điều kiện sin r ≠ 0)

⇒ sin r = $\frac{\sin 50°}{\mathrm{1,33}}$

⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)

⇔ sin r ≈ sin(35°10’)

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}r\approx 35°10\text{'}+k360°\\ r\approx 180°-35°10\text{'}+k360°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 

 

 

 

 

$\iff \left[\begin{array}{l}r\approx 35°10\text{'}+k360°\\ r\approx 144°50\text{'}+k360°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.

Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.