Bài 5: Dãy số

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Dãy số

Giải Toán 11 trang 42

Mở đầu trang 42 Toán 11 Tập 1: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P10 = 500 . (1 + 0,02)10 ≈ 609 (nghìn người).

1. Định nghĩa dãy số

HĐ1 trang 42 Toán 11 Tập 1: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0

Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1

Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4

Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9

Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ*.

Giải Toán 11 trang 43

HĐ2 trang 43 Toán 11 Tập 1:

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.

Luyện tập 1 trang 43 Toán 11 Tập 1: a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u1 = 6, số hạng cuối của dãy là u5 = 26.

2. Các cách cho một dãy số

HĐ3 trang 43 Toán 11 Tập 1:

Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát un của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

 a) Số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n (n ∈ ℕ*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u1 = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là un = u­n – 1 + 5 (n ∈ ℕ*, n > 1).

Giải Toán 11 trang 44

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1:

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) cho bởi hệ thức truy hồi

 

 

 

 

$\left\{\begin{array}{l}{F}_1=1,F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\left(n\ge 3\right)\end{array}\right.$.

a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n! là

u1 = 1! = 1;

u2 = 2! = 2;

u3 = 3! = 6;

u4 = 4! = 24;

u5 = 5! = 120.

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) là

F1 = 1;

F2 = 1;

F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2;

F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3;

F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số bị chặn

Giải Toán 11 trang 45

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số (un) với un = 3n – 1. Tính un + 1 và so sánh với u­n.

b) Xét dãy số (vn) với $v_n=\frac{1}{n^2}$ . Tính vn + 1 và so sánh với vn.

a) Ta có: un + 1 = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu un + 1 – un ta có: un + 1 – un = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

b) Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$ .

Xét hiệu vn + 1 – vn ta có:

vn + 1 – vn = $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}-\frac{1}{n^2}$

$=\frac{n^2-{\left(n+1\right)}^2}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{n^2-\left(n^2+2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-\left(2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Tức là vn + 1 < vn , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy vn + 1 < vn ∀ n ∈ ℕ*.

Luyện tập 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), với $u_n=\frac{1}{n+1}$ .

Ta có: $u_n=\frac{1}{n+1}$ , $u_{n+1}=\frac{1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{1}{n+2}$ .

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}$$=\frac{\left(n+1\right)-\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Tức là un + 1 < un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un­) là dãy số giảm.

HĐ5 trang 45 Toán 11 Tập 1:

Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{n+1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

a) So sánh un và 1.

b) So sánh un và 2.

a) Ta có: $u_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

b) Ta có: $\frac{1}{n}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , suy ra $1+\frac{1}{n}\le 1+1=2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Do đó, $u_n=1+\frac{1}{n}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Giải Toán 11 trang 46

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un), với un = 2n – 1.

Ta có: un = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng trang 46 Toán 11 Tập 1: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi sn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s1 = 200, sn = sn – 1 ­+ 25 với n ≥ 2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (sn) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

a) Ta có: s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225

s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250

s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275

s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: sn = sn – 1 + 25 ⇔ sn – sn – 1 = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Tức là sn > sn – 1 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Vậy (sn) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

Bài tập

Bài 2.1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) un = 3n – 2;

b) un = 3 . 2n;

c) $u_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ .

a) Ta có: u1 = 3 . 1 – 2 = 1;

u2 = 3 . 2 – 2 = 4;

u3 = 3 . 3 – 2 = 7;

u4 = 3 . 4 – 2 = 10;

u5 = 3 . 5 – 2 = 13;

u100 = 3 . 100 – 2 = 298.

b) Ta có: u1 = 3 . 21 = 6;

u2 = 3 . 22 = 12;

u3 = 3 . 23 = 24;

u4 = 3 . 24 = 48;

u5 = 3 . 25 = 96;

u100 = 3 . 2100.

c) Ta có: $u_1={\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1=2$ ;

$u_2={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$;

$u_3={\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$;

$u_4={\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}$;

$u_5={\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}$;

$u_{100}={\left(1+\frac{1}{100}\right)}^{100}={\left(\frac{101}{100}\right)}^{100}$.

Bài 2.2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, un = n . un – 1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

u1 = 1;

u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;

u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;

u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;

u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.

b) Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;

u2 = 2 . 1 = 2!;

u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;

u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của un là un = n!.

Bài 2.3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:

a) un = 2n – 1;

b) un = – 3n + 2;

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{2^n}$ .

a) Ta có: un + 1 = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu un + 1 – un = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là un + 1 > un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có: un + 1 = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1

Xét hiệu un + 1 – un = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là un + 1 < un­, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{2^n}$

Nhận xét thấy: $u_1=\frac{{\left(-1\right)}^{1-1}}{2^1}=\frac{1}{2}>0$ ; $u_2=\frac{{\left(-1\right)}^{2-1}}{2^2}=\frac{-1}{4}<0$ ;

$u_3=\frac{{\left(-1\right)}^{3-1}}{2^3}=\frac{1}{8}>0$

$u_4=\frac{{\left(-1\right)}^{4-1}}{2^4}=\frac{-1}{16}<0$

;  ; ...

Vậy dãy số (un) không tăng, cũng không giảm.

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) un = n – 1;

b) $u_n=\frac{n+1}{n+2}$ ;

c) un = sin n;

d) un = (– 1)n – 1 n2.

a) Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$ , với mọi n ∈ ℕ*.

Vì $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$ , ∀ n ∈ ℕ* nên $-\frac{1}{3}\le -\frac{1}{n+2}<0$ ∀ n ∈ ℕ*.

Suy ra $1-\frac{1}{3}\le 1-\frac{1}{n+2}<1$ hay $\frac{2}{3}\le u_n<1$ ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

d) un = (– 1)n – 1 n2

Ta có: (– 1)n – 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

(– 1)n – 1 = – 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 . n2 ≤ (– 1)n – 1 n2 ≤ 1 . n2 hay – n2 ≤ un ≤ n2 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Bài 2.5 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 4 dư 1.

​a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...

Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là un = 3n với n ∈ ℕ*.

b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dưa là un = 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Bài 2.6 trang 46 Toán 11 Tập 1: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

${\mathrm{<a\; href="https://sinx.edu.vn/cau-hoi/bai-2-6-trang-46-toan-11-tap-1-848071"\; style="color:\; inherit;">A</a>}}_n=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^n$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

$A_1=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^1=100,5$(triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là

$A_2=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^2=101,0025$ (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

$A_{12}=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^{12}\approx 106,17$ (triệu đồng).

Giải Toán 11 trang 47

Bài 2.7 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi An (n ∈ ℕ) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.

a) Tìm lần lượt A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An).

a) Ta có: A0 = 100 (triệu đồng)

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là 2 – 0,8 = 1,2 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là

A1 = 100 – 1,2 = 98,8 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là 2 – 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là

A2 = 98,8 – 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là 97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là 2 – 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là

A3 = 97,5904 – 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là 96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là 2 – 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là

A4 = 96,3711232 – 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là 95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là 2 – 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là

A5 = 95,1420932 – 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là 93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là 2 – 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là

A6 = 93,9032332 – 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An) là

A0 = 100; An = An – 1 – (2 – An – 1. 0,8%) = 1,008An – 1 – 2.