Bài 7: Cấp số nhân

Giải Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Bài giảng Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Giải Toán 11 trang 52

Mở đầu trang 52 Toán 11 Tập 1: Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu u1 = 240 và công bội q = 1,05. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{240\left(1-{\left(1,05\right)}^{10}\right)}{1-1,05}\approx 3019$.

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

1. Định nghĩa

HĐ1 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = 3 . 2n.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa un và un – 1.

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u1 = 3 . 21 = 6;

u2 = 3 . 22 = 12;

u3 = 3 . 23 = 24;

u4 = 3 . 24 = 48;

u5 = 3 . 25 = 96.

b) Ta có: un – 1 = 3 . 2n – 1 = 3 . $\frac{2^n}{2^1}$ = $\frac{{3.2}^n}{2}$ = $\frac{u_n}{2}$ , suy ra un = un – 1 . 2.

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa un và un – 1 là u1 = 6, un = un – 1 . 2 với n ≥ 2.

Câu hỏi trang 52 Toán 11 Tập 1: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.​

Giải Toán 11 trang 53

Luyện tập 1 trang 53 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = 2 . 5n. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Với mọi n ≥ 2, ta có:

$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{{2.5}^n}{{2.5}^{n-1}}=\frac{5^n}{\frac{5^n}{5}}=5$,

tức là u5 = 5un – 1 với mọi n ≥ 2.

Vậy (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 . 51 = 10 và công bội q = 5.

2. Số hạng tổng quát

HĐ2 trang 53 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 và công bội q.

a) Tính các số hạng u2, u3, u4, u5 theo u1 và q.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u1 và q.

a) Ta có: u2 = u1 . q;

u3 = u2 . q = (u1 . q) . q = u1 . q2;

u4 = u3 . q = (u1 . q2) . q = u1 . q3;

u5 = u4 . q = (u1 . q3) . q = u1 . q4.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u1 và q là un = u1 . qn – 1 với n ≥ 2.

Giải Toán 11 trang 54

Luyện tập 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u1 = 5 000 và công bội q = 1,08 và u6 là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u6 = u1 . q6 – 1 = 5 000 . 1,085 ≈ 7 347.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S­n = u1 + u2 + ... + un – 1 + un,

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u1 và q để được biểu thức tính tổng Sn chỉ chứa u1 và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . Sn chỉ chứa u1 và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)Sn theo u1 và q. Từ đó suy ra công thức tính Sn.

a) Ta có: u2 = u1 . q; ...; un – 1 = u1 . q(n – 1) – 1 = u1 . qn – 2; un = u1 . qn – 1.

Do đó, Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un = u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1 (1).

b) Ta có: q . Sn = q . (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1)

⇔ q . Sn = u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

Sn – q . Sn = (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1) – (u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn)

⇔ (1 – q)Sn = u1 – u1 . qn

⇔ (1 – q)Sn = u1(1 – qn)

⇒ Sn = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ (với q ≠ 1).

Câu hỏi trang 54 Toán 11 Tập 1: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu Sn của nó bằng bao nhiêu?

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, ..., u1,... Khi đó

Sn = u1 + u1 + ... + u1 = n . u1 (tổng của n số hạng u1).

Giải Toán 11 trang 55

Vận dụng trang 55 Toán 11 Tập 1: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Ta có: 3 năm = 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 và công sai d = 1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là

S12 = $\frac{12}{2}\left(2u_1+\left(12-1\right)d\right)$ = 6(2 . 15 + 11 . 1,5) = 279 (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u'1 = 15 và công bội q = 1,05. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

S'12 = $\frac{{u^{\text{'}}}_1\left(1-q^{12}\right)}{1-q}=\frac{15\left(1-{\left(1,05\right)}^{12}\right)}{1-1,05}$ ≈ 238,76 (triệu đồng).

+ Vì 279 > 238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

Bài tập

Bài 2.15 trang 55 Toán 11 Tập 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) 2, $-\frac{1}{2},\frac{1}{8}$ , ....

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 1 và công bội là q = 4 : 1 = 4.

Số hạng thứ 5 là u5 = u1 . q5 – 1 = 1 . 44 = 256.

Số hạng tổng quát là un = u1 . qn – 1 = 1 . 4n – 1 = 4n – 1.

Số hạng thứ 100 là u100 = 4100 – 1 = 499.

b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 2 và công bội là q = $-\frac{1}{2}:2=-\frac{1}{4}$ .

Số hạng thứ 5 là u5 = u1 . q5 – 1 = 2 . ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^4$ = $\frac{1}{128}$ .

Số hạng tổng quát là un = u1 . qn – 1 = 2 .${\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ .

Số hạng thứ 100 là u100 = 2 . ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^{100-1}$ = $\frac{2.{\left(-1\right)}^{99}}{4^{99}}=\frac{-2}{2^{2.99}}=\frac{-2}{2^{198}}=-\frac{1}{2^{197}}$ .

Bài 2.16 trang 55 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 . qn – 1.

a) un = 5n;

b) un = 5n;

c) u1 = 1, un = nun – 1;

d) u1 = 1, un = 5un – 1.

a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 5 . 1 = 5;

u2 = 5 . 2 = 10;

u3 = 5 . 3 = 15;

u4 = 5 . 4 = 20;

u5 = 5 . 5 = 25;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5n}{5\left(n-1\right)}=\frac{n}{n-1}=\frac{n-1+1}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}$ luôn thay đổi.

Do đó, dãy số (un) không là cấp số nhân.

b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 51 = 5;

u2 = 52 = 25;

u3 = 53 = 125;

u4 = 54 = 625;

u5 = 55 = 3 125;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có

$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=\frac{5^{n-1}.5}{5^{n-1}}=5$,

tức là un = 5un – 1 với mọi n ≥ 2.

Do đó, (un) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 5, công bội q = 5 và số hạng tổng quát là un = u1 . qn – 1 = 5 . 5n – 1 = 51 + n – 1 = 5n.

c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 1;

u2 = 2 . u1 = 2 . 1 = 2;

u3 = 3 . u2 = 3 . 2 = 6;

u4 = 4 . u3 = 4 . 6 = 24;

u5 = 5 . u4 = 5 . 24 = 120.

+) Ta có: un = nun – 1, suy ra $\frac{u_n}{u_{n-1}}=n$ luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (un) không là cấp số nhân.

d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 1;

u2 = 5 . u1 = 5 . 1 = 5;

u3 = 5 . u2 = 5 . 5 = 25;

u4 = 5 . u3 = 5 . 25 = 125;

u5 = 5 . u4 = 5 . 125 = 625.

+) Ta có: un = 5un – 1, suy ra $\frac{u_n}{u_{n-1}}=5$ với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (un) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = 5 và có số hạng tổng quát un = u1 . qn – 1 = 1 . 5n – 1 = 5n – 1.

Bài 2.17 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Khi đó theo bài ra ta có:

u6 = u1 . q6 – 1 = u1 . q5 = 96 và u3 = u1 . q3 – 1 = u1 . q2 = 12.

Do đó, $\frac{u_6}{u_3}=\frac{u_1.q^5}{u_1.q^2}=q^3=\frac{96}{12}=8$ ⇒ q = 2, thay vào u1 . q2 = 12 ta được

u1 . 22 = 12 ⇒ u1 = 3.

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là u50 = u1 . q50 – 1 = 3 . 250 – 1 = 3 . 249.

Bài 2.18 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = 2.

Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 5115.

Khi đó ta có: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{5\left(1-2^n\right)}{1-2}=-5\left(1-2^n\right)$ hay – 5(1 – 2n) = 5 115

⇔ 1 – 2n = – 1 023 ⇔ 2n = 1 024 ⇔ n = 10.

Vậy để có tổng bằng 5115 thì phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Bài 2.19 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 1 năm sử dụng là 3 . 0,8 = 2,4 (tỉ đồng).

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2,4 và công bội q = 0,8.

Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là

u5 = u1 . q5 – 1 = 2,4 . 0,84 = 0,98304 (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Bài 2.20 trang 55 Toán 11 Tập 1: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Giả sử dân số của quốc gia đó là N. Vì tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 0,91% . N.

Vậy dân số của quốc gia đó vào năm sau là N + 0,91% . N = 100,91% . N = 1,0091N.

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = N và công bội q = 1,0091.

Theo bài ra ta có: u1 = 97 ứng với năm 2020.

Ta có: 2030 – 2020 = 10.

Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020, ứng với u11 và u11 = u1 . q11 – 1 = 97 . 1,009110 ≈ 106,2 (triệu người).

Vậy nếu tốc độ tăng trưởng dân số được giữ nguyên hằng năm thì dân số của quốc gia đó vào năm 2030 xấp xỉ khoảng 106,2 triệu người.

Bài 2.21 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau mỗi ngày dùng thuốc lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 50 và công bội q = $\frac{1}{2}$ .

Tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp chính bằng tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{50\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{25575}{256}$ (mg).