Giải Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Bài giảng Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Giải Toán 11 trang 52

Mở đầu trang 52 Toán 11 Tập 1: Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

1. Định nghĩa

HĐ1 trang 52 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = 3 . 2n.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa un và un – 1.

Câu hỏi trang 52 Toán 11 Tập 1: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Giải Toán 11 trang 53

Luyện tập 1 trang 53 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = 2 . 5n. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

2. Số hạng tổng quát

HĐ2 trang 53 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 và công bội q.

a) Tính các số hạng u2, u3, u4, u5 theo u1 và q.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u1 và q.

Giải Toán 11 trang 54

Luyện tập 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S­n = u1 + u2 + ... + un – 1 + un,

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u1 và q để được biểu thức tính tổng Sn chỉ chứa u1 và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . Sn chỉ chứa u1 và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)Sn theo u1 và q. Từ đó suy ra công thức tính Sn.

Câu hỏi trang 54 Toán 11 Tập 1: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu Sn của nó bằng bao nhiêu?

Giải Toán 11 trang 55

Vận dụng trang 55 Toán 11 Tập 1: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Bài tập

Bài 2.15 trang 55 Toán 11 Tập 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) 2, $-\frac{1}{2},\frac{1}{8}$ , ....

Bài 2.16 trang 55 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 . qn – 1.

a) un = 5n;

b) un = 5n;

c) u1 = 1, un = nun – 1;

d) u1 = 1, un = 5un – 1.

Bài 2.18 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?

Bài 2.19 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Bài 2.20 trang 55 Toán 11 Tập 1: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Bài 2.21 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.