Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết ý nghĩa của các kết quả thu được.

Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu được kết quả sau:

Trung bình mỗi học sinh trong lớp đi muộn bao nhiêu buổi trong học kì?

Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống sau:

Tính mốt của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được

Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống sau:

Tìm a sao cho có 25% số cầu thủ tham gia trận đấu chạy ít nhất a(km).

Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống sau:

Tìm trung vị của mẫu số liệu này và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được.

Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận đấu bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống sau:

Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này.

Thời gian hoàn thành bài kiểm tra 45 phút của các bạn trong lớp được cho như sau:

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.               

b) Có bao nhiêu học sinh hoàn thành bài kiểm tra trước khi hết giờ 5 phút?

Trẻ sơ sinh được xem là nhẹ cân nếu cân nặng khi sinh dưới 2kg, là thừa cân nếu cân nặng trên 4kg, là có cân nặng trung bình nếu cân nặng khi sinh từ 2kg đến 4kg. Thống kê cân nặng (tính theo kg) của 15 trẻ sơ sinh tại một bệnh viện cho kết quả như sau:

a) Tìm số trẻ nhẹ cân, thừa cân, có cân nặng trung bình trong 15 trẻ sơ sinh trên.

b) Xây dựng mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

Thống kê chỉ số chất lượng không khi (AQI) tại một địa điểm vào các ngày trong tháng 6/2022 được cho trong bảng sau:

a) Đọc và giải thích mẫu liệu ghép nhóm.

b) Chất lượng không khí được xem là tốt nếu AQI nhỏ hơn 50, là trung bình nếu AQI từ 50 đến dưới 100. Trong tháng 6/ 2022 tại địa điểm này có bao nhiêu ngày chất lượng không khí dưới mức trung bình?

Từ 1/7/2019, dựa trên thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là GNIPC, tính theo đô la Mĩ), Ngân hàng Thế giới xác định một nền kinh tế ở mức thu nhập thấp nếu GNIPC nhỏ hơn 1 026, ở mức thu nhập dưới trung bình nếu GNIPC từ 1 026 đến dưới 3 996, ở mức thu nhập trên trung bình nếu GNIPC từ 3 996 đến dưới 12 376 và ở mức thu nhập cao nếu GNIPC từ 12 376 trở lên (Theo Ngân hàng Thế giới). Thu nhập bình quân đầu người của một số nền kinh tế thuộc khu vực châu Á Thái Bình Dương năm 2021 được cho như sau:

a) Ghép nhóm mẫu số liệu trên theo mức thu nhập của nền kinh tế.         

b) GNIPC của Việt Nam năm 2021 là 11 040. Nền kinh tế Việt Nam được xếp ở mức nào?

Một dãy số (u_n) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u₁ = a, u_{n + 1} = qu_n + d.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Thiết lập công thức tính tổng S_n của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (u_n).

Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?

Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút T_n mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số T_n.

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số (T_n).

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Một con chó con nặng 0,4 kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử un (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

a) Viết lần lượt các công thức tính u₂, u₃. Từ đó dự đoán công thức của u_n.

b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Chứng minh rằng:

a) Nếu a₁, a₂, a₃, ... và b₁, b₂, b₃, ... là hai cấp số cộng thì a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ... cũng là cấp số cộng.

b) Nếu a₁, a₂, a₃, ... và b₁, b₂, b₃, ... là hai cấp số nhân thì a₁b₁, a₂b₂, a₃b₃, ... cũng là cấp số nhân.

Trong các dãy số (u_n) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) u₁ = 2, u_{n + 1} = u_n + n;

b) u_n = 6n + 3;

c) u₁ = 1, u_{n + 1} = n ∙ u_n;

d) u_n = 3 . 5ⁿ.

Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?

A. 40.

B. 30.

C. 20.

D. 10.

Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng.

B. 158 687 000 đồng.

C. 125 971 000 đồng.

D. 112 486 000 đồng.

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}$ bằng

A. $2+\frac{1}{2^n}$

B. $2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

C. $2-\frac{1}{2^{n+1}}$.

D. $2-\frac{1}{2^n}$.

Chọn cấp số nhân trong các dãy số (un) sau:

A. u_n = 2n.

B. $u_n=\frac{2}{n}$.

C. u_n = 2n.

D. u₁ = 1, u_n + 1 = nun.

Cho cấp số cộng với u₁ = −2, u₉ = 22.Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

A. 3 570.

B. 3 575.

C. 3 576.

D. 3 580.

Chọn cấp số cộng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 3ⁿ + 2.

B. u_n = $\frac{3}{n}$ + 1.

C. u_n = 3n.

D. u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + n.

Cho dãy số $u_n=2020\sin \frac{n\pi }{2}+2021\cos \frac{n\pi }{3}$. Mệnh nào dưới đây là đúng?

A. u_{n + 6} = u_n.

B. u_{n + 9} = u_n.

C. u_{n + 4} = u_n.

D. u_{n + 12} = u_n.

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = – 2n + 1.

B. u_n = n² – n + 1.

C.u_n = (– 1)ⁿ 2ⁿ.

D. u_n = 1 + sin n.

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 1 – n².

B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = n sin n.

D. $u_n=\frac{2-n}{n+1}$.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + n. Số hạng u₄ là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy m² = p ∙ q. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác m₁, m₂, ..., m_k sao cho p, m₁, m₂, ..., m_k, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Tính các tổng sau:

a) 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹;

b) $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3}+\mathrm{...}+\frac{2^{12}}{3}$.

Tìm x sao cho x, x + 2, x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{125}{64}$. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64, – 32, 16, – 8, ...

Chứng minh rằng mỗi dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) $u_n=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$;

b) $u_n=\frac{2^n}{3^{n-1}}$.