Hoạt động 4 trang 58 Chuyên đề Toán 11: Trong Hoạt động 3, giả sử đường thẳng ℓ vuông góc với mặt phẳng (P') (Hình 28).

a) Tam giác A'B'C' có phải là tam giác đều hay không?

b) Tìm số đo của các góc trục đo: $\widehat{X\text{'}O\text{'}Y\text{'}};\widehat{Y\text{'}O\text{'}Z\text{'}};\widehat{Z\text{'}O\text{'}X\text{'}}$.

c) So sánh các hệ số biến dạng:

$p=\frac{O\text{'}A\text{'}}{OA};q=\frac{O\text{'}B\text{'}}{OB};r=\frac{O\text{'}C\text{'}}{OC}$.

Hoạt động 3 trang 57 Chuyên đề Toán 11: Cho hình chóp tam giác đều O.ABC có các góc AOB, BOC, COA đều là góc vuông. Xét hệ trục tọa độ vuông góc OXYZ sao cho A, B, C lần lượt nằm trên các trục OX, OY, OZ. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và (P') là mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

Giả sử ℓ là đường thẳng không song song với (P') và không song song với các trục tọa độ, các điểm O', A', B', C' lần lượt là hình chiếu song song theo phương ℓ của các điểm O, A, B, C trên mặt phẳng (P') (Hình 25).

Hãy xác định:

a) Hình chiếu song song O'X', O'Y', O'Z' trên mặt phẳng (P') của lần lượt các trục tọa độ OX, OY, OZ theo phương ℓ;

b) Hình chiếu song song theo phương ℓ của hình chóp tam giác đều O.ABC trên mặt phẳng (P').

Luyện tập 2 trang 55 Chuyên đề Toán 11: Cho hình trụ có đáy trên là đường tròn (C), đường thẳng ℓ song song với đường sinh của hình trụ, mặt phẳng (P) không song song với mặt đáy của hình trụ. Hãy xác định hình chiếu song song của đường tròn (C) trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.

Hoạt động 2 trang 54 Chuyên đề Toán 11: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng (P). Cho điểm M, đoạn thẳng AB và đường thẳng a. Xác định hình chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ của:

a) Điểm M;

b) Đoạn thẳng AB;

c) Đường thẳng a

Luyện tập 1 trang 54 Chuyên đề Toán 11: Khối hộp chữ nhật ở Hình 16 có các cạnh song song hoặc vuông góc với các tia OX, OY, OZ. Theo phương pháp góc chiếu thứ nhất, bản vẽ nào ở Hình 17 biểu diễn cho khối hộp chữ nhật đó?

Hoạt động 1 trang 50 Chuyên đề Toán 11: Cho mặt phẳng (P), điểm M, đoạn thẳng AB và đường thẳng a. Xác định hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (P) của:

a) Điểm M;

b) Đoạn thẳng AB;

c) Đường thẳng a

Khởi động trang 50 Chuyên đề Toán 11: Hình khối ở Hình 1 gồm 4 viên gạch xếp liền nhau. Khi nhìn hình khối đó theo nhiều hướng khác nhau như ở Hình 2 ta được nhiều kết quả khác nhau.

Kết quả nhìn từ mỗi hướng được gọi là gì?

Bài 5 trang 49 Chuyên đề Toán 11: Một nhân viên của bảo tàng nghệ thuật đang có kế hoạch giới thiệu nội dung cuộc triển lãm của bảo tàng đến ba trường học trong khu vực. Người đó muốn đến từng trường và quay trở lại bảo tàng sau khi thăm cả ba trường. Thời gian di chuyển (đơn vị: phút) giữa các trường học và giữa bảo tàng với mỗi trường học được mô tả trong Hình 35.

Tìm chu trình xuất phát từ viện bảo tàng sao cho thời gian đi là ít nhất. 

Bài 4 trang 49 Chuyên đề Toán 11: Sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất, hãy giải bài toán người giao hàng đối với đồ thị ở Hình 34, số ghi trên mỗi cạnh của đồ thị mô tả độ dài quãng đường giữa các địa điểm (đơn vị: kilômét).

Bài 3 trang 49 Chuyên đề Toán 11: Giả sử chi phí di chuyển giữa các địa điểm được mô tả ở Hình 33 (đơn vị: nghìn đồng). Ta nên chọn theo chu trình nào đi qua tất cả các địa điểm để tổng chi phí di chuyển là thấp nhất? Chi phí thấp nhất đó bằng bao nhiêu?

Bài 2 trang 49 Chuyên đề Toán 11: Có bốn địa điểm với độ dài quãng đường giữa các địa điểm (đơn vị: kilômét) mô tả trong Hình 32. Sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất, tìm các chu trình xuất phát từ một đỉnh đi qua tất cả các địa điểm, mỗi địa điểm đúng một lần sao cho tổng độ dài các cạnh của chu trình là nhỏ nhất.

Bài 1 trang 49 Chuyên đề Toán 11: Hình 31 biểu diễn mạng lưới máy chủ và tốc độ truyền dữ liệu (đơn vị: Megabit/ giây, kí hiệu là Mbps) giữa một số thành phố. Vẽ một đồ thị sử dụng điểm, đường để biểu diễn mạng lưới đó.

Luyện tập 3 trang 47 Chuyên đề Toán 11: Hexane C6H14 có năm đồng phân. Vẽ đồ thị tương ứng với năm đồng phân đó.  

Luyện tập 2 trang 46 Chuyên đề Toán 11: Sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất để giải bài toán trong Hoạt động 2.

Hoạt động 2 trang 44 Chuyên đề Toán 11: Giả sử có sáu địa điểm A, B, C, D, E, F được nối với nhau theo những con đường với độ dài (đơn vị: kilômét) được mô tả bằng đồ thị có trọng số ở Hình 24. Người giao hàng cần đi giao hàng tại sáu địa điểm trên. Người giao hàng xuất phát từ một địa điểm nào đó, đi qua các địa điểm còn lại để giao hàng và trở về địa điểm ban đầu. Hãy tìm một đường đi thỏa mãn điều kiện trên cho người giao hàng sao cho quãng đường mà người giao hàng phải di chuyển là ngắn nhất.

Luyện tập 1 trang 44 Chuyên đề Toán 11: Hãy cho ví dụ về đồ thị có trọng số.

Hoạt động 1 trang 44 Chuyên đề Toán 11: Giả sử ba địa điểm A, B, C được nối với nhau theo những con đường AB, BC, CA với độ dài lần lượt là 15 km, 20 km, 16 km. Sử dụng đồ thị để mô tả tình huống đó.

Khởi động trang 44 Chuyên đề Toán 11: Như chúng ta đã biết, Lí thuyết đồ thị ra đời trong quá trình khái quát, mô phỏng những vấn đề của khoa học và thực tiễn thành những mô hình toán học. Vì thế, các kết quả của Lí thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.

Lí thuyết đồ thị có thể giải quyết những vấn đề thực tiễn nào?

Bài 5 trang 43 Chuyên đề Toán 11: Một cuộc họp có 6 người tham dự. Hai người bất kì trong họ hoặc quen nhau hoặc không quen nhau. Chứng minh rằng có 3 người trong 6 người đó đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau.

Bài 4 trang 43 Chuyên đề Toán 11: Tìm bậc của mỗi đỉnh và chỉ ra một chu trình Hamilton (nếu có) của đồ thị ở Hình 21.

Bài 3 trang 43 Chuyên đề Toán 11: Tìm bậc của mỗi đỉnh và chỉ ra một chu trình Euler (nếu có) của đồ thị ở Hình 20. 

Bài 2 trang 43 Chuyên đề Toán 11: Hãy vẽ một đồ thị có bốn đỉnh sao cho chỉ có đúng:

a) Hai đỉnh cùng có bậc là 1;

b) Hai đỉnh cùng có bậc là 2.

Bài 1 trang 43 Chuyên đề Toán 11: Có sáu thành phố A, B, C, D, E, G sao cho hai thành phố bất kì trong chúng đều có đường nối với nhau. Sử dụng đồ thị để mô tả tình huống đó.

Luyện tập 11 trang 43 chuyên đề Toán lớp 11: Chứng minh rằng đồ thị G ở Hình 19 có ít nhất một chu trình Hamilton.

Luyện tập 10 trang 42 chuyên đề Toán lớp 11: Chứng minh rằng đồ thị G ở Hình 17 có ít nhất một chu trình Hamilton. 

Luyện tập 9 trang 42 chuyên đề Toán lớp 11: Tìm hai đường đi Hamilton bắt đầu từ đỉnh E của đồ thị trong Hình 15.

Hoạt động 8 trang 41 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đường đi màu đỏ trên đồ thị ở Hình 13 và cho biết đường đi đó có đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị hay không và mỗi đỉnh đi qua bao nhiêu lần.

Luyện tập 8 trang 41 chuyên đề Toán lớp 11: Chứng minh rằng đồ thị ở Hình 11a không có chu trình Euler.

Luyện tập 7 trang 40 chuyên đề Toán lớp 11: Hãy chỉ ra hai đường đi Euler trong đồ thị ở Hình 11a.

Hoạt động 7 trang 40 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị ở Hình 10 và đường đi CABDCB, cho biết:

a) Đường đi trên có đi qua tất cả các cạnh của đồ thị hay không?

b) Đường đi trên đi qua mỗi cạnh bao nhiêu lần? 

Luyện tập 6 trang 39 chuyên đề Toán lớp 11: Cho ví dụ về một đồ thị liên thông và một đồ thị không liên thông.

Hoạt động 6 trang 39 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị Hình 8 và cho biết hai đỉnh bất kì của đồ thị có được nối với nhau bằng một đường đi hay không?

Luyện tập 5 trang 39 chuyên đề Toán lớp 11: Trong đồ thị ở Hình 8, hãy tìm:

a) Một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh F;

b) Một chu trình có đỉnh E là đỉnh đầu và đỉnh cuối.

Hoạt động 5 trang 38 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị Hình 7 và cho biết:

a) Hai đỉnh A, B có được nối với nhau bằng một cạnh hay không;

b) Dãy các cạnh kế tiếp nhau AB, BC, CD, DE có đặc điểm gì.

Luyện tập 4 trang 38 chuyên đề Toán lớp 11: Cho ví dụ về một đồ thị có số lẻ đỉnh bậc chẵn.

Hoạt động 4 trang 38 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị Hình 7 và cho biết:

a) Tổng các bậc của năm đỉnh trong đồ thị đó;

b) Số cạnh của đồ thị đó;

c) Tổng các bậc của năm đỉnh trong đồ thị gấp bao nhiêu lần số cạnh của đồ thị đó.

Luyện tập 3 trang 37 chuyên đề Toán lớp 11: Có bao nhiêu đỉnh bậc lẻ trong đồ thị ở Hình 5a?

Hoạt động 3 trang 37 Chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị ở Hình 6 và đếm số cạnh của đồ thị nhận đỉnh P làm đầu mút.

Luyện tập 2 trang 37 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho hai ví dụ về đồ thị đơn.

Hoạt động 2 trang 36 Chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát đồ thị ở Hình 4 và cho biết:

a) Với mỗi cặp đỉnh của đồ thị, có nhiều nhất bao nhiêu cạnh nối chúng;

b) Có hay không một đỉnh được nối với chính nó bởi một cạnh của đồ thị.