Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: ${225}^o$; $-{225}^o$; $-{1035}^o$; $\frac{5\mathrm{\pi }}{3}$; $\frac{19\mathrm{\pi }}{2}$; $-\frac{159\mathrm{\pi }}{4}$

Cho phép tịnh tiến Tu và hai điểm M, N. Giả sử M' = Tu (M), N'=Tu(N).

a) Biểu diễn các vectơ MM' và NN' theo vectơ u.

b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ M′N′ và MN.

c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.

Gọi M, N, P là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA,OM), (OA,ON), (OA,OP) lần lượt bằng $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$;$\frac{7\mathrm{\pi }}{6}$;$-\frac{\mathrm{\pi }}{6}$. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.

Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) $\tan \left(-{75}^o\right)$;b) $\cot \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{5}\right)$

a) ${\cos }^2\frac{\mathrm{\pi }}{8}$ + ${\cos }^2\frac{3\mathrm{\pi }}{8}$

b) $\tan 1^o$. $\tan 2^o$. $\tan {45}^o$. $\tan {88}^o$. $\tan {89}^o$

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA,OM) = α, (OA,OM′) = −α (Hình 13)

Tính giá trị của biểu thức:

Q = ${\tan }^2\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ + ${\sin }^2\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ + $\cot \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ + $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ${45}^o$

Cho góc lượng giác 𝛼 sao cho 𝜋 < 𝛼 < $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ và $\sin \alpha$ = $-\frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$

Cho góc lượng giác 𝛼. So sánh

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ OA.

Cho vectơ 𝑢 và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho vectơ MM'= vectơ 𝑢 (Hình 3).

Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d (Hình 2).

a) Có bao nhiêu hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d?

b) Có điểm nào của mặt phẳng không có hình chiếu vuông góc trên đường thẳng d hay không?

Thang băng chuyền tải khách (Hình 1) là loại thang máy không có bậc thang, tốc độ di chuyển vừa phải, thường được sử dụng ở những nơi công cộng như khu trung tâm thương mại, sân bay, siêu thị, ... nhằm mục đích hỗ trợ hành khách di chuyển từ địa điểm này đến địa điểm khác cùng với đồ đạc, hành lí, ...

Giả sử thang băng chuyền di chuyển một hành khách từ điểm đầu A đến điểm cuối B của thang băng chuyền đó.

Trong toán học, phép di chuyển hành khách từ vị trí A đến vị trí B theo một hướng cố định được gọi là gì?

Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. Quy ước chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, hãy lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể đó và tính thể tích của nó.

Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó.

Sử dụng thước đo góc nếu cần thiết, hãy cho biết hình nào trong Hình 3.52 là hình chiếu trục đo vuông góc đều.

Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh A₃B₃ của đoạn thẳng đó.

b) Biết A₁B₁ = 10 cm và A₂B₂ = 6 cm, tính độ dài của A₃B₃.  

Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A­₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh OA² = OM² + ON² + OP².

b) Áp dụng ý a để chứng minh OA = căn ((OA₁ mũ 2 + OA­₂ mũ 2+ OA₃ mũ 3)/2) .

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng (ABB'A') thì các hình chiếu đứng của A và D trùng nhau.

b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng (ABCD) thì các hình chiếu bằng của C và C' trùng nhau.

c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng (BCC'B') thì các hình chiếu cạnh của A và C trùng nhau.

Hãy chọn một vật thể đơn giản theo ý thích của mình và lập bản vẽ kĩ thuật cho vật thể đó.

Tính thể tích của vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.

Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.49. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.

Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.48.

Quan sát một phần bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.47 và giải thích vì sao bản vẽ đó không đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong vẽ kĩ thuật.

Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.

Để lập bản vẽ kĩ thuật gồm các hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo vuông góc đều của một vật thể ta cần tuân theo thứ tự nào? Sắp xếp các bước sau để nhận được trình tự đúng.

a) Chọn hướng chiếu phù hợp.

b) Chỉnh sửa các nét vẽ và ghi kích thước.

c) Vẽ hình chiếu vuông góc của mỗi hình khối cấu tạo nên vật thể.

d) Phân tích vật thể thành các hình khối đơn giản.

e) Từ các hình chiếu vuông góc và hình biểu diễn của vật thể dựng hình chiếu trục đo.

f) Kẻ khung bản vẽ, khung tên để hoàn thành bản vẽ.

Một nhà máy dự định sử dụng 1 tấn hợp kim để sản xuất các chi tiết máy được mô tả như trong bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32. Tính số lượng chi tiết máy sản xuất được, biết rằng khối lượng riêng của hợp kim là 7,85 tấn/m3 và giả sử rằng lượng hợp kim hao hụt trong sản xuất là không đáng kể.

Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41b.

Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:

a) Vật thể được biểu diễn trên bản vẽ có tên gọi là gì?

b) Bản vẽ thể hiện các hình chiếu nào của vật thể?

c) Em xác định chiều cao của vật thể từ bản vẽ bằng cách nào?

Một phần của bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.40. Bản vẽ đó có đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong bản vẽ kĩ thuật không?

Để phân biệt hình hộp chữ nhật và hình trụ trong Hình 3.39a ta nên sử dụng thêm hình chiếu gì?

Hình 3.38b thể hiện một phần của bản vẽ. Bản vẽ đó có đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.

Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:

a) Các hình biểu diễn trong bản vẽ có giúp hình dung được hình dạng và cấu tạo của vật thể hay không?

b) Có kích thước nào của vật thể mà em không thể xác định được từ bản vẽ hay không?

Trong Hình 3.37b, kí hiệu nào trong hai kí hiệu C, D ứng với đường kích thước và kí hiệu nào ứng với chữ số kích thước?

Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết các kich thước được viết ở vị trí nào của đường kích thước.

Trên bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có bao nhiêu nét liền mảnh?

Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết trên bản vẽ đó có những loại nét vẽ nào? Chiều rộng (hay độ dày) của các nét vẽ đó có giống nhau không?